extremos de f(x)=5x^2+6x-7 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

5 x^{2} + 6 x - 7

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 6 x - 7)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 6 x - 7)

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{2})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (6 x)

6

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

⇥

5 \cdot 2 x + 6

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 2

10

⇥

10 x + 6

⇥A primeira derivada é

10 x + 6

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

10 x + 6 = 0

⇥ⓘ Subtraímos

6

a ambos os membros

⇥

10 x = -6

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

10

⇥

x = - \frac{6}{10}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{10}

- \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}

- \frac{3}{5}

⇥Solução encontrada:

x = - \frac{3}{5}

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (10 x + 6)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (10 x + 6)

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

\frac{d}{d x} (10 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

10

⇥A segunda derivada é

10

2) Em

x = - \frac{3}{5}

, calculamos

f^{''} (- \frac{3}{5}) = 10

x = - \frac{3}{5}

, a segunda derivada é positiva: é um mínimo local estrito

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + 6 \cdot (- \frac{3}{5}) - 7

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

6 \cdot (- \frac{3}{5})

- 6 \cdot \frac{3}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - 6 \cdot \frac{3}{5} - 7

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

6 \cdot \frac{3}{5}

\frac{6 \cdot 3}{5}

\frac{18}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - \frac{18}{5} - 7

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{18}{5} - 7

\frac{- 18 - 7 \cdot 5}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + \frac{- 18 - 7 \cdot 5}{5}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

7 \cdot 5

35

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + \frac{- 18 - 35}{5}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 18 - 35

-53

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(- \frac{3}{5})}^{2}

\frac{{(-3)}^{2}}{5^{2}}

⇥

5 \cdot \frac{{(-3)}^{2}}{5^{2}} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

5^{2}

5 \cdot 5

25

⇥

5 \cdot \frac{9}{25} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

5 \cdot \frac{9}{25}

\frac{5 \cdot 9}{25}

\frac{45}{25}

⇥

\frac{45}{25} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

25

, o mínimo múltiplo comum de

25

5

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{45}{25} - \frac{53}{5}

\frac{45}{25} + \frac{-53 \cdot 5}{5 \cdot 5}

\frac{45 - 53 \cdot 5}{25}

⇥

\frac{45 - 53 \cdot 5}{25}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

53 \cdot 5

(50 + 3) \cdot 5

50 \cdot 5 + 3 \cdot 5

250 + 15

265

⇥

\frac{45 - 265}{25}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

45 - 265

-220

⇥

- \frac{220}{25}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

5

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{220}{25}

- \frac{44 \cdot 5}{5 \cdot 5}

- \frac{44}{5}

⇥

- \frac{44}{5}

A ordenada é f(

- \frac{3}{5}

) =

- \frac{44}{5}

▶Extremos locais estritos:

{(- \frac{3}{5}; - \frac{44}{5})}