extremos de f(x)=((x^2-1))/(x^2+1)

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}

: são os pontos do domínio onde a sua derivada muda de sinal

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥Vamos resolver em

ℝ

\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

4 x = 0

⇥⇥Simplificamos a expressão por

4

⇥⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

{(x^{2} + 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(x^{2} + 1)}^{2} \neq 0

implica:

x^{2} + 1 \neq 0

⇥⇥

x^{2} \neq -1

⇥⇥Em ℝ, um quadrado nunca é negativo: nenhum número real tem

-1

como quadrado

⇥⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = 0

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-1) = -1

< 0:

f

é decrescente em

] -∞; 0 [

⇥

f^{'} (1) = 1

> 0:

f

é crescente em

] 0; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

1

⇥

f (0) = \frac{0^{2} - 1}{0^{2} + 1} = -1

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

1

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

⇥Portanto,

f

é decrescente em

] -∞; 0]

e crescente em

[0; +∞ [

x = 0

f

' passa de - para +:

f

tem um mínimo local estrito,

f (0) = -1

▶Extremos locais estritos:

{(0; -1)}