extremos de f(x)=(e^x)/(5+e^x) — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

\frac{e^{x}}{5 + e^{x}}

: são os pontos do domínio onde a sua derivada muda de sinal

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = \frac{5 e^{x}}{{(e^{x} + 5)}^{2}}

⇥Vamos resolver em

ℝ

\frac{5 e^{x}}{{(e^{x} + 5)}^{2}} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

5 e^{x} = 0

⇥⇥Simplificamos a expressão por

5

⇥⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

e^{x} = 0

⇥⇥⇥Em ℝ, a função exponencial é estritamente positiva:

e^{x} > 0

, pelo que

e^{x} = 0

não tem solução

⇥⇥⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

{(e^{x} + 5)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(e^{x} + 5)}^{2} \neq 0

implica:

e^{x} + 5 \neq 0

⇥⇥

e^{x} \neq -5

⇥⇥Em ℝ, a função exponencial é estritamente positiva:

e^{x} > 0

, pelo que

e^{x} \neq -5

é verdadeira para todo

x

⇥⇥Solução obtida:

x \in ℝ

⇥

f^{'} (x)

não se anula no domínio de

f

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (0) = \frac{5}{36}

> 0:

f

é crescente em

ℝ

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

0

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

1

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

⇥Portanto,

f

é crescente em

ℝ

A derivada não muda de sinal em nenhum ponto do domínio: não há extremos locais estritos

▶Extremos locais estritos:

\emptyset