extremos de f(x)=(x^2+x+1)/x — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

\frac{x^{2} + x + 1}{x}

: são os pontos do domínio onde a sua derivada muda de sinal

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}

⇥Vamos resolver em

ℝ

\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 1 = 0

⇥⇥Os dois números cujo quadrado vale

1

são

-1

1

⇥⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = {-1; 1}

⇥⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x^{2} \neq 0

⇥⇥

x^{2} \neq 0

implica:

x \neq 0

⇥⇥Condição de definição:

x \neq 0

⇥ Para que a expressão

\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}

esteja definida, é necessário:

x^{2} \neq 0

⇥Restrições do domínio:

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = {-1; 1}

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-2) = \frac{3}{4}

> 0:

f

é crescente em

] -∞; -1 [

⇥

f^{'} (- \frac{1}{2}) = -3

< 0:

f

é decrescente em

] -1; 0 [

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = -3

< 0:

f

é decrescente em

] 0; 1 [

⇥

f^{'} (2) = \frac{3}{4}

> 0:

f

é crescente em

] 1; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-∞

⇥

f (-1) = \frac{{(-1)}^{2} - 1 + 1}{-1} = -1

⇥Quando

x

se aproxima de

0

pela esquerda,

f (x)

tende para

-∞

; pela direita, para

+∞

⇥

f (1) = \frac{1^{2} + 1 + 1}{1} = 3

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$-∞$		$-1$		$0$		$1$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$-1$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$3$	↗	$+∞$

⇥Portanto,

f

é crescente em

] -∞; -1]

, decrescente em

[-1; 0 [

e em

] 0; 1]

e crescente em

[1; +∞ [

x = -1

f

' passa de + para -:

f

tem um máximo local estrito,

f (-1) = -1

x = 1

f

' passa de - para +:

f

tem um mínimo local estrito,

f (1) = 3

▶Extremos locais estritos:

{(-1; -1); (1; 3)}