extremos de f(x)=(x^3)/3-2x^2+4x+3

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

\frac{x^{3}}{3}

- 2 x^{2}

+ 4 x

+ 3

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + 3)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + 3)

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

. A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (4 x)

4

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

⇥

\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x + 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

\frac{1}{3} \cdot 3

1

2 \cdot 2

4

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot x^{2}

x^{2}

⇥

x^{2} - 4 x + 4

⇥A primeira derivada é

x^{2} - 4 x + 4

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 4 x + 4 = 0

⇥Podemos reescrever a expressão como:

{(x - 2)}^{2}

⇥De

{(x - 2)}^{2} = 0

deduzimos:

x - 2 = 0

⇥ⓘ Somamos

2

a ambos os membros

⇥Solução encontrada:

x = 2

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

⇥

2 x - 4

⇥A segunda derivada é

2 x - 4

2) Em

x = 2

, calculamos

f^{''} (2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0

x = 2

, o zero da derivada é de ordem par: não muda de sinal, pelo que não é um extremo

Este polinómio de grau ímpar não é limitado superior nem inferiormente em ℝ: não tem nenhum extremo global

▶Extremos locais estritos:

\emptyset