extremos de f(x)=-2x^2-12x-16 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

- 2 x^{2} - 12 x - 16

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 12 x - 16)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 12 x - 16)

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 12 x)

⇥

- 2 \cdot 2 x - 12

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

⇥

- 4 x - 12

⇥A primeira derivada é

- 4 x - 12

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

- 4 x - 12 = 0

⇥ⓘ Somamos

4 x

a ambos os membros

⇥

-12 = 4 x

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

4

⇥

x = - \frac{12}{4}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{12}{4}

-3

⇥Solução obtida:

x = -3

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (- 4 x - 12)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (- 4 x - 12)

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

⇥

-4

⇥A segunda derivada é

-4

2) Em

x = -3

, calculamos

f^{''} (-3) = -4

x = -3

, a segunda derivada é negativa: é um máximo local estrito

⇥

- 2 \cdot {(-3)}^{2} - 12 \cdot (-3) - 16

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-12 \cdot (-3)

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

⇥

- 2 \cdot 9 + 36 - 16

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 9

18

■Partimos de

36

e recuamos

16

na reta numérica:

36 - 16

20

⇥

- 18 + 20

⇥ⓘ Partimos de

-18

e avançamos

20

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 18 + 20

2

⇥

2

A ordenada é f(

-3

) =

2

▶Extremos locais estritos:

{(-3; 2)}