extremos de f(x)=x^2e^x-4 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

x^{2} e^{x} - 4

: são os pontos do domínio onde a sua derivada muda de sinal

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = e^{x} x \cdot (x + 2)

⇥Vamos resolver em

ℝ

e^{x} x \cdot (x + 2) = 0

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

e^{x} = 0

⇥⇥Em ℝ, a função exponencial é estritamente positiva:

e^{x} > 0

, pelo que

e^{x} = 0

não tem solução

⇥⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

x + 2 = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = -2

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = {-2; 0}

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-3) = \frac{3}{e^{3}}

> 0:

f

é crescente em

] -∞; -2 [

⇥

f^{'} (-1) = - \frac{1}{e}

< 0:

f

é decrescente em

] -2; 0 [

⇥

f^{'} (1) = e \cdot 3

> 0:

f

é crescente em

] 0; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-4

⇥

f (-2) = {(-2)}^{2} \cdot e^{-2} - 4 = \frac{4}{e^{2}} - 4

⇥

f (0) = 0^{2} \cdot e^{0} - 4 = -4

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$-∞$		$-2$		$0$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	$0$	+
$f (x)$	$-4$	↗	$\frac{4}{e^{2}} - 4$	↘	$-4$	↗	$+∞$

⇥Portanto,

f

é crescente em

] -∞; -2]

, decrescente em

[-2; 0]

e crescente em

[0; +∞ [

x = -2

f

' passa de + para -:

f

tem um máximo local estrito,

f (-2) = \frac{4}{e^{2}} - 4

x = 0

f

' passa de - para +:

f

tem um mínimo local estrito,

f (0) = -4

▶Extremos locais estritos:

{(-2; \frac{4}{e^{2}} - 4); (0; -4)}