extremos de -x^2+2x+3 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

- x^{2} + 2 x + 3

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (- x^{2} + 2 x + 3)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{2} + 2 x + 3)

\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

- 2 x + 2

⇥A primeira derivada é

2 - 2 x

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

2 - 2 x = 0

⇥ⓘ Somamos

2 x

a ambos os membros

⇥

2 = 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥Solução obtida:

x = 1

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (2 - 2 x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 - 2 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

\frac{d}{d x} (- 2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x)

-2

⇥

-2

⇥A segunda derivada é

-2

2) Em

x = 1

, calculamos

f^{''} (1) = -2

x = 1

, a segunda derivada é negativa: é um máximo local estrito

⇥

- 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3

⇥

- 1 + 2 + 3

⇥ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

2

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 1 + 2

1

⇥

1 + 3

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

3

na reta numérica:

1 + 3

4

⇥

4

A ordenada é f(

1

) =

4

▶Extremos locais estritos:

{(1; 4)}