extremos de x^2+2x+3 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

x^{2} + 2 x + 3

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 3)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 3)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2 x + 2

⇥A primeira derivada é

2 x + 2

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

2 x + 2 = 0

⇥ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros

⇥

2 x = -2

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥Solução obtida:

x = -1

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2

⇥A segunda derivada é

2

2) Em

x = -1

, calculamos

f^{''} (-1) = 2

x = -1

, a segunda derivada é positiva: é um mínimo local estrito

⇥

{(-1)}^{2} + 2 \cdot (-1) + 3

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

1 - 2 + 3

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

2

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 2

-1

⇥

- 1 + 3

⇥ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

3

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 1 + 3

2

⇥

2

A ordenada é f(

-1

) =

2

▶Extremos locais estritos:

{(-1; 2)}