extremos de x^4-2x^2 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

x^{4} - 2 x^{2}

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{2})

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 x^{3} - 2 \cdot 2 x

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

⇥

4 x^{3} - 4 x

⇥A primeira derivada é

4 x^{3} - 4 x

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

4 x^{3} - 4 x = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

4 x^{3} - 4 x

como

x \cdot (4 x^{2} - 4)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

4 x^{2} - 4 = 0

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

4

⇥⇥

x^{2} = 1

⇥⇥Os dois números cujo quadrado vale

1

são

-1

1

⇥⇥Soluções obtidas:

x = {-1; 1}

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 4 x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 4 x)

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2} - 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2} - 4

⇥A segunda derivada é

12 x^{2} - 4

2) Em

x = -1

, calculamos

f^{''} (-1) = 12 \cdot {(-1)}^{2} - 4 = 8

x = -1

, a segunda derivada é positiva: é um mínimo local estrito

⇥

{(-1)}^{4} - 2 \cdot {(-1)}^{2}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

2 \cdot 1

2

⇥

1 - 2

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

2

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 2

-1

⇥

-1

A ordenada é f(

-1

) =

-1

3) Em

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 12 \cdot 0^{2} - 4 = -4

x = 0

, a segunda derivada é negativa: é um máximo local estrito

⇥

0^{4} - 2 \cdot 0^{2}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

-2 \cdot 0

0

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 0

0

⇥

0

A ordenada é f(

0

) =

0

4) Em

x = 1

, calculamos

f^{''} (1) = 12 \cdot 1^{2} - 4 = 8

x = 1

, a segunda derivada é positiva: é um mínimo local estrito

⇥

1^{4} - 2 \cdot 1^{2}

⇥

1 - 2

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

2

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 2

-1

⇥

-1

A ordenada é f(

1

) =

-1

▶Extremos locais estritos:

{(-1; -1); (0; 0); (1; -1)}