extremos de x^4 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

x^{4}

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{4})

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

⇥

4 x^{3}

⇥A primeira derivada é

4 x^{3}

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

4 x^{3} = 0

⇥Simplificamos a expressão por

4

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x^{3} = 0

⇥⇥De

x^{3} = 0

deduzimos:

x = 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2}

⇥ⅰ

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2}

⇥A segunda derivada é

12 x^{2}

2) Em

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 12 \cdot 0^{2} = 0

A primeira derivada não nula neste ponto é de ordem 4 e vale

24

A primeira derivada não nula é de ordem par e positiva: é um mínimo local estrito

⇥

0^{4}

⇥

0

A ordenada é f(

0

) =

0

O polinómio tende para +∞ nos dois infinitos: este único extremo local também é global

▶Extremos locais estritos:

{(0; 0)}