extremos f(x)=x^4-4x^3+9 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

x^{4} - 4 x^{3} + 9

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 4 x^{3} + 9)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 4 x^{3} + 9)

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

-4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

⇥

4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

4 x^{3} - 12 x^{2}

⇥Podemos fatorizar a expressão como:

x^{2} \cdot (4 x - 12)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(4 x - 12)

⇥Colocamos em evidência

4

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

4 x - 12

4 \cdot (x - 3)

⇥Fator encontrado:

x - 3

⇥A primeira derivada é

4 x^{2} \cdot (x - 3)

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

4 x^{2} \cdot (x - 3) = 0

⇥Simplificamos a expressão por

4

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x^{2} = 0

⇥⇥De

x^{2} = 0

deduzimos:

x = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 0

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x - 3 = 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = 3

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 x^{2} \cdot (x - 3))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{2} \cdot (x - 3))

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (x - 3))

⇥

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (x - 3))

⇥Para

u1

x^{2}

v2

x - 3

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.4) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥1.5) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (x - 3)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 3)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

1

⇥1.6) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot (x - 3) + x^{2} \cdot 1

⇥

2 x \cdot (x - 3) + x^{2}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 x \cdot (x - 3)

2 x^{2} - 6 x

⇥

2 x^{2} - 6 x + x^{2}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x^{2} + x^{2}

3 x^{2}

⇥

3 x^{2} - 6 x

⇥1.7) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (x - 3))

3 x^{2} - 6 x

⇥

4 \cdot (3 x^{2} - 6 x)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

4 \cdot (3 x^{2} - 6 x)

12 x^{2} - 24 x

⇥

12 x^{2} - 24 x

⇥Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (12 x - 24)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(12 x - 24)

⇥Colocamos em evidência

12

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

12 x - 24

12 \cdot (x - 2)

⇥Fator encontrado:

x - 2

⇥A segunda derivada é

12 x \cdot (x - 2)

2) Em

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 12 \cdot 0 \cdot (0 - 2) = 0

A primeira derivada não nula neste ponto é de ordem 3 e vale

-24

x = 0

, o zero da derivada é de ordem par: não muda de sinal, pelo que não é um extremo

3) Em

x = 3

, calculamos

f^{''} (3) = 12 \cdot 3 \cdot (3 - 2) = 36

x = 3

, a segunda derivada é positiva: é um mínimo local estrito

⇥

3^{4} - 4 \cdot 3^{3} + 9

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{4}

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

81

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

⇥

81 - 4 \cdot 27 + 9

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 27

4 \cdot (20 + 7)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 7

80 + 28

108

⇥

81 - 108 + 9

⇥ⓘ Partimos de

81

e recuamos

108

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

81 - 108

-27

⇥

- 27 + 9

⇥ⓘ Partimos de

-27

e avançamos

9

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 27 + 9

-18

⇥

-18

A ordenada é f(

3

) =

-18

O polinómio tende para +∞ nos dois infinitos: este único extremo local também é global

▶Extremos locais estritos:

{(3; -18)}