extremos x-8/(x^2) — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

x - \frac{8}{x^{2}}

: são os pontos do domínio onde a sua derivada muda de sinal

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = \frac{16}{x^{3}} + 1

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{16}{x^{3}} + 1 = 0

⇥⇥Multiplicamos ambos os membros por

x^{3}

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥⇥

\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3} + x^{3} = 0 \cdot x^{3}

⇥⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}

\frac{16 x^{3}}{x^{3}}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x^{3}

\frac{16 x^{3}}{x^{3}}

16

■Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x^{3}

0

⇥⇥

16 + x^{3} = 0

⇥⇥Tomamos a raiz:

- \sqrt[3]{16} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

. Como a potência é ímpar,

x^{3} = -16

tem uma única solução real,

- 2 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥⇥1.2) Vamos procurar o domínio de

\frac{16}{x^{3}} + 1 = 0

⇥⇥ Para que a expressão

\frac{16}{x^{3}}

esteja definida, é necessário:

x^{3} \neq 0

⇥⇥

x^{3} \neq 0

implica:

x \neq 0

⇥⇥Restrições do domínio:

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-3) = \frac{11}{27}

> 0:

f

é crescente em

] -∞; - 2 \cdot \sqrt[3]{2} [

⇥

f^{'} (-1) = -15

< 0:

f

é decrescente em

] - 2 \cdot \sqrt[3]{2}; 0 [

⇥

f^{'} (1) = 17

> 0:

f

é crescente em

] 0; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-∞

⇥

f (- 2 \cdot \sqrt[3]{2}) = - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - \frac{8}{{(- 2 \cdot \sqrt[3]{2})}^{2}} = - 3 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥Quando

x

se aproxima de

0

pela esquerda,

f (x)

tende para

-∞

; pela direita, para

-∞

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$-∞$		$- 2 \cdot \sqrt[3]{2}$		$0$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$- 3 \cdot \sqrt[3]{2}$	↘	$-∞$ ‖ $-∞$	↗	$+∞$

⇥Portanto,

f

é crescente em

] -∞; - 2 \cdot \sqrt[3]{2}]

, decrescente em

[- 2 \cdot \sqrt[3]{2}; 0 [

e crescente em

] 0; +∞ [

x = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

f

' passa de + para -:

f

tem um máximo local estrito,

f (- 2 \cdot \sqrt[3]{2}) = - 3 \cdot \sqrt[3]{2}

▶Extremos locais estritos:

{(- 2 \cdot \sqrt[3]{2}; - 3 \cdot \sqrt[3]{2})}