1) Vamos fatorizar em $ℝ$: $11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente: $x=-11$

⇥Vamos calcular o valor de: $11·{\left(-11\right)}^3$$+125·{\left(-11\right)}^2$$+45·\left(-11\right)$$+11$

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido: ${\left(-11\right)}^3$ = $\left(-11\right)·\left(-11\right)·\left(-11\right)$ = $-1331$, ${\left(-11\right)}^2$ = $\left(-11\right)·\left(-11\right)$ = $121$■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo: $45·\left(-11\right)$ = $-45·11$ = $-45·(10+1)$ = $-(45·10+45)$ = $-(450+45)$ = $-495$

⇥ $11·\left(-1331\right)$$+125·121$$-495$$+11$

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo: $11·\left(-1331\right)$ = $-11·1331$ = $-(10+1)·1331$ = $-(10·1331+1331)$ = $-(\mathrm{13\; 310}+1331)$ = $\mathrm{-14\; 641}$■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações: $125·121$ = $125·(100+20+1)$ = $125·100+125·20+125$ = $\mathrm{12\; 500}+2500+125$ = $\mathrm{15\; 125}$■Partimos de $-495$ e avançamos $11$ na reta numérica, aproximando-nos do zero: $-495+11$ = $-484$

⇥ $-\mathrm{14\; 641}+\mathrm{15\; 125}-484$

⇥ⓘ Partimos de $\mathrm{-14\; 641}$ e avançamos $\mathrm{15\; 125}$ na reta numérica, passando para valores acima de zero: $-\mathrm{14\; 641}+\mathrm{15\; 125}$ = $484$

⇥ $484-484$

⇥ⓘ Partimos de $484$ e recuamos $484$ na reta numérica, até ao zero: $484-484$ = $0$

⇥ $0$

⇥Raiz encontrada: $x=-11$

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de $(11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11)$ por $(x+11)$

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$	$\frac{11x^3}{x}$	$11x^2$	$11x^2·(x+11)=11x^3+121x^2$	$(11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11)-(11x^3+121x^2)=4x^2+45x+11$
$4x^2+45x+11$	$\frac{4x^2}{x}$	$4x$	$4x·(x+11)=4x^2+44x$	$(4x^2+45x+11)-(4x^2+44x)=x+11$
$x+11$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x+11=x+11$	$(x+11)-(x+11)=0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é: $11x^2+4x+1$

ⅰ $11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$ = $(x+11)·(11x^2+4x+1)$

▶Expressão fatorizada:   $(x+11)·(11x^2+4x+1)$