fatoriza 142x^2-228x-112 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

142 x^{2} - 228 x - 112

Colocamos em evidência

2

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

142 x^{2} - 228 x - 112

2 \cdot (71 x^{2} - 114 x - 56)

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 71

b = -114

c = -56

Δ = {(-114)}^{2} - 4 \cdot 71 \cdot (-56)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-114)}^{2}

(-114) \cdot (-114)

12 996

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 71

4 \cdot (70 + 1)

4 \cdot 70 + 4

280 + 4

284

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 284 \cdot (-56)

284 \cdot 56

Δ = 12 996 + 284 \cdot 56

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

284 \cdot 56

284 \cdot (50 + 6)

284 \cdot 50 + 284 \cdot 6

14 200 + 1704

15 904

Δ = 12 996 + 15 904

ⓘ Partimos de

12 996

e avançamos

15 904

na reta numérica:

12 996 + 15 904

28 900

Δ = 28 900

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-114) - \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

x_{1} = \frac{114 - \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{28 900}

170

pois

170^{2}

28 900

ⅰ

2 \cdot 71

2 \cdot (70 + 1)

2 \cdot 70 + 2

140 + 2

142

x_{1} = \frac{114 - 170}{142}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

114 - 170

-56

x_{1} = - \frac{56}{142}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{56}{142}

- \frac{28 \cdot 2}{71 \cdot 2}

- \frac{28}{71}

x_{1} = - \frac{28}{71}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-114) + \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

x_{2} = \frac{114 + \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{28 900}

170

pois

170^{2}

28 900

ⅰ

2 \cdot 71

2 \cdot (70 + 1)

2 \cdot 70 + 2

140 + 2

142

x_{2} = \frac{114 + 170}{142}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

114 + 170

284

x_{2} = \frac{284}{142}

Simplificamos a fração

\frac{284}{142}

pelo fator comum

142

para obter a nova expressão:

2

x_{2} = 2

Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

71 \cdot (x - 2) \cdot (x + \frac{28}{71})

(x - 2) \cdot (71 x + 28)

Fatores encontrados:

(x - 2) \cdot (71 x + 28)

▶Expressão fatorizada:

2 \cdot (x - 2) \cdot (71 x + 28)