fatoriza 15x^2-13x+2 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

15 x^{2} - 13 x + 2

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 15

b = -13

c = 2

Δ = {(-13)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 2

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-13)}^{2}

(-13) \cdot (-13)

169

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

Δ = 169 - 60 \cdot 2

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 2

120

Δ = 169 - 120

ⓘ Partimos de

169

e recuamos

120

na reta numérica:

169 - 120

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = \frac{13 - 7}{30}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

13 - 7

6

x_{1} = \frac{6}{30}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{30}

\frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6}

\frac{1}{5}

x_{1} = \frac{1}{5}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{13 + 7}{30}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

13 + 7

20

x_{2} = \frac{20}{30}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

10

, o seu máximo divisor comum:

\frac{20}{30}

\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10}

\frac{2}{3}

x_{2} = \frac{2}{3}

Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

15 \cdot (x - \frac{1}{5}) \cdot (x - \frac{2}{3})

(3 x - 2) \cdot (5 x - 1)

▶Fatores encontrados:

(3 x - 2) \cdot (5 x - 1)