fatoriza 15x^2-19x+6 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

15 x^{2} - 19 x + 6

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 15

b = -19

c = 6

Δ = {(-19)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 6

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-19)}^{2}

(-19) \cdot (-19)

361

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

Δ = 361 - 60 \cdot 6

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 6

360

Δ = 361 - 360

ⓘ Partimos de

361

e recuamos

360

na reta numérica:

361 - 360

1

Δ = 1

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-19) - \sqrt{1}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{19 - 1}{2 \cdot 15}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

19 - 1

18

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = \frac{18}{30}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{18}{30}

\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6}

\frac{3}{5}

x_{1} = \frac{3}{5}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-19) + \sqrt{1}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{19 + 1}{2 \cdot 15}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

19 + 1

20

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{20}{30}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

10

, o seu máximo divisor comum:

\frac{20}{30}

\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10}

\frac{2}{3}

x_{2} = \frac{2}{3}

Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

15 \cdot (x - \frac{2}{3}) \cdot (x - \frac{3}{5})

(3 x - 2) \cdot (5 x - 3)

▶Fatores encontrados:

(3 x - 2) \cdot (5 x - 3)