fatoriza 16x^3-16x^2-25x+25 — solução passo a passo | Explain MAths

fatoriza 16x^3-16x^2-25x+25

1) Vamos fatorizar em

ℝ

:

16 x^{3}

- 16 x^{2}

- 25 x

+ 25

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = 1

⇥Vamos calcular o valor de:

16 \cdot 1^{3}

- 16 \cdot 1^{2}

- 25 \cdot 1

+ 25

⇥

16

- 16

- 25

+ 25

⇥ⓘ Partimos de

16

e recuamos

16

na reta numérica, até ao zero:

16 - 16

=

0

⇥

0 - 25 + 25

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 25

=

-25

■Partimos de

-25

e avançamos

25

na reta numérica, até ao zero:

- 25 + 25

=

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = 1

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(16 x^{3}

- 16 x^{2}

- 25 x

+ 25)

por

(x - 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$16 x^{3}$ $- 16 x^{2}$ $- 25 x$ $+ 25$	$\frac{16 x^{3}}{x}$	$16 x^{2}$	$16 x^{2} \cdot (x - 1) = 16 x^{3} - 16 x^{2}$	$(16 x^{3}$ $- 16 x^{2}$ $- 25 x$ $+ 25) - (16 x^{3} - 16 x^{2}) = - 25 x + 25$
$- 25 x + 25$	$- \frac{25 x}{x}$	$-25$	$-25 \cdot (x - 1) = - 25 x + 25$	$(- 25 x + 25) - (- 25 x + 25) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

16 x^{2} - 25

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

:

(16 x^{2} - 25)

⇥Para

16 x^{2} - 25

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

{(4 x)}^{2} - 5^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = 4 x

e

b = 5

⇥Podemos fatorizar a expressão

16 x^{2} - 25

como

(4 x - 5) \cdot (4 x + 5)

▷O fator

(16 x^{2} - 25)

fatoriza-se como:

(4 x + 5) \cdot (4 x - 5)

▶Expressão fatorizada:

(x - 1) \cdot (4 x + 5) \cdot (4 x - 5)