fatoriza 20y^2+y-1 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

20 y^{2} + y - 1

Dada a forma quadrática

a y^{2} + b y + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 20

b = 1

c = -1

Δ = 1 - 4 \cdot 20 \cdot (-1)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 20

80

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

- 80 \cdot (-1)

80

Δ = 1 + 80

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

80

na reta numérica:

1 + 80

81

Δ = 81

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

y_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{81}

9

pois

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 20

40

y_{1} = \frac{- 1 - 9}{40}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 - 9

-10

y_{1} = - \frac{10}{40}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

10

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{10}{40}

- \frac{1 \cdot 10}{4 \cdot 10}

- \frac{1}{4}

y_{1} = - \frac{1}{4}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

y_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{81}

9

pois

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 20

40

y_{2} = \frac{- 1 + 9}{40}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 9

8

y_{2} = \frac{8}{40}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

8

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{40}

\frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8}

\frac{1}{5}

y_{2} = \frac{1}{5}

Um trinómio de raízes

y_{1}

y_{2}

escreve-se

a \cdot (y - y_{1}) \cdot (y - y_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

20 \cdot (y + \frac{1}{4}) \cdot (y - \frac{1}{5})

(4 y + 1) \cdot (5 y - 1)

▶Fatores encontrados:

(4 y + 1) \cdot (5 y - 1)