fatoriza 24y^2-80y+56 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

24 y^{2} - 80 y + 56

Colocamos em evidência

8

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

24 y^{2} - 80 y + 56

8 \cdot (3 y^{2} - 10 y + 7)

Dada a forma quadrática

a y^{2} + b y + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 3

b = -10

c = 7

Δ = {(-10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-10)}^{2}

(-10) \cdot (-10)

100

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

Δ = 100 - 12 \cdot 7

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 7

(10 + 2) \cdot 7

10 \cdot 7 + 2 \cdot 7

70 + 14

84

Δ = 100 - 84

ⓘ Partimos de

100

e recuamos

84

na reta numérica:

100 - 84

16

Δ = 16

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

y_{1} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 3

6

y_{1} = \frac{10 - 4}{6}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

10 - 4

6

y_{1} = \frac{6}{6}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{6}

1

y_{1} = 1

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

y_{2} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 3

6

y_{2} = \frac{10 + 4}{6}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

10 + 4

14

y_{2} = \frac{14}{6}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{14}{6}

\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{7}{3}

y_{2} = \frac{7}{3}

Um trinómio de raízes

y_{1}

y_{2}

escreve-se

a \cdot (y - y_{1}) \cdot (y - y_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

3 \cdot (y - 1) \cdot (y - \frac{7}{3})

(y - 1) \cdot (3 y - 7)

Fatores encontrados:

(y - 1) \cdot (3 y - 7)

▶Expressão fatorizada:

8 \cdot (y - 1) \cdot (3 y - 7)