fatoriza 2x^3+7x^2-10x-24 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

2 x^{3}

+ 7 x^{2}

- 10 x

- 24

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = 2

⇥Vamos calcular o valor de:

2 \cdot 2^{3}

+ 7 \cdot 2^{2}

- 10 \cdot 2

- 24

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

10 \cdot 2

20

⇥

2 \cdot 8

+ 7 \cdot 4

- 20

- 24

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 8

16

7 \cdot 4

28

■Partimos de

-20

e recuamos mais

24

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 20 - 24

-44

⇥

16 + 28 - 44

⇥ⓘ Partimos de

16

e avançamos

28

na reta numérica:

16 + 28

44

⇥

44 - 44

⇥ⓘ Partimos de

44

e recuamos

44

na reta numérica, até ao zero:

44 - 44

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = 2

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(2 x^{3}

+ 7 x^{2}

- 10 x

- 24)

por

(x - 2)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$2 x^{3}$ $+ 7 x^{2}$ $- 10 x$ $- 24$	$\frac{2 x^{3}}{x}$	$2 x^{2}$	$2 x^{2} \cdot (x - 2) = 2 x^{3} - 4 x^{2}$	$(2 x^{3}$ $+ 7 x^{2}$ $- 10 x$ $- 24) - (2 x^{3} - 4 x^{2}) = 11 x^{2} - 10 x - 24$
$11 x^{2} - 10 x - 24$	$\frac{11 x^{2}}{x}$	$11 x$	$11 x \cdot (x - 2) = 11 x^{2} - 22 x$	$(11 x^{2} - 10 x - 24) - (11 x^{2} - 22 x) = 12 x - 24$
$12 x - 24$	$\frac{12 x}{x}$	$12$	$12 \cdot (x - 2) = 12 x - 24$	$(12 x - 24) - (12 x - 24) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

2 x^{2} + 11 x + 12

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(2 x^{2} + 11 x + 12)

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = 11

c = 12

⇥

Δ = 11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

11^{2}

11 \cdot 11

121

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 121 - 8 \cdot 12

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 12

8 \cdot (10 + 2)

8 \cdot 10 + 8 \cdot 2

80 + 16

96

⇥

Δ = 121 - 96

⇥ⓘ Partimos de

121

e recuamos

96

na reta numérica:

121 - 96

25

⇥

Δ = 25

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - 5}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 11 - 5

-16

⇥

x_{1} = - \frac{16}{4}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{16}{4}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + 5}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 11 + 5

-6

⇥

x_{2} = - \frac{6}{4}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{4}

- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{3}{2}

⇥

x_{2} = - \frac{3}{2}

⇥Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

2 \cdot (x + 4) \cdot (x + \frac{3}{2})

(x + 4) \cdot (2 x + 3)

▷O fator

(2 x^{2} + 11 x + 12)

fatoriza-se como:

(x + 4) \cdot (2 x + 3)

▶Expressão fatorizada:

(x + 4) \cdot (x - 2) \cdot (2 x + 3)