fatoriza 2x^3+x^2-32x-16 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

2 x^{3}

+ x^{2}

- 32 x

- 16

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = 4

⇥Vamos calcular o valor de:

2 \cdot 4^{3}

+ 4^{2}

- 32 \cdot 4

- 16

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

4^{2}

4 \cdot 4

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

32 \cdot 4

(30 + 2) \cdot 4

30 \cdot 4 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

⇥

2 \cdot 64

+ 16

- 128

- 16

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 64

2 \cdot (60 + 4)

2 \cdot 60 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

■Partimos de

16

e recuamos

128

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

16 - 128

-112

⇥

128 - 112 - 16

⇥ⓘ Partimos de

128

e recuamos

112

na reta numérica:

128 - 112

16

⇥

16 - 16

⇥ⓘ Partimos de

16

e recuamos

16

na reta numérica, até ao zero:

16 - 16

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = 4

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(2 x^{3}

+ x^{2}

- 32 x

- 16)

por

(x - 4)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$2 x^{3}$ $+ x^{2}$ $- 32 x$ $- 16$	$\frac{2 x^{3}}{x}$	$2 x^{2}$	$2 x^{2} \cdot (x - 4) = 2 x^{3} - 8 x^{2}$	$(2 x^{3}$ $+ x^{2}$ $- 32 x$ $- 16) - (2 x^{3} - 8 x^{2}) = 9 x^{2} - 32 x - 16$
$9 x^{2} - 32 x - 16$	$\frac{9 x^{2}}{x}$	$9 x$	$9 x \cdot (x - 4) = 9 x^{2} - 36 x$	$(9 x^{2} - 32 x - 16) - (9 x^{2} - 36 x) = 4 x - 16$
$4 x - 16$	$\frac{4 x}{x}$	$4$	$4 \cdot (x - 4) = 4 x - 16$	$(4 x - 16) - (4 x - 16) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

2 x^{2} + 9 x + 4

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(2 x^{2} + 9 x + 4)

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = 9

c = 4

⇥

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

9^{2}

9 \cdot 9

81

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 4

8

⇥

Δ = 81 - 8 \cdot 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 4

32

⇥

Δ = 81 - 32

⇥ⓘ Partimos de

81

e recuamos

32

na reta numérica:

81 - 32

49

⇥

Δ = 49

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{- 9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{- 9 - 7}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 9 - 7

-16

⇥

x_{1} = - \frac{16}{4}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{16}{4}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{- 9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{- 9 + 7}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 9 + 7

-2

⇥

x_{2} = - \frac{2}{4}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

⇥

x_{2} = - \frac{1}{2}

⇥Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

2 \cdot (x + 4) \cdot (x + \frac{1}{2})

(x + 4) \cdot (2 x + 1)

▷O fator

(2 x^{2} + 9 x + 4)

fatoriza-se como:

(x + 4) \cdot (2 x + 1)

▶Expressão fatorizada:

(x + 4) \cdot (x - 4) \cdot (2 x + 1)