fatoriza 32x^2-4x-15 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

32 x^{2} - 4 x - 15

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 32

b = -4

c = -15

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 32 \cdot (-15)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 32

4 \cdot (30 + 2)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 128 \cdot (-15)

128 \cdot 15

Δ = 16 + 128 \cdot 15

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

128 \cdot 15

128 \cdot (10 + 5)

128 \cdot 10 + 128 \cdot 5

1280 + 640

1920

Δ = 16 + 1920

ⓘ Partimos de

16

e avançamos

1920

na reta numérica:

16 + 1920

1936

Δ = 1936

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{1936}

44

pois

44^{2}

1936

ⅰ

2 \cdot 32

2 \cdot (30 + 2)

2 \cdot 30 + 2 \cdot 2

60 + 4

64

x_{1} = \frac{4 - 44}{64}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 - 44

-40

x_{1} = - \frac{40}{64}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

8

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{40}{64}

- \frac{5 \cdot 8}{8 \cdot 8}

- \frac{5}{8}

x_{1} = - \frac{5}{8}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{1936}

44

pois

44^{2}

1936

ⅰ

2 \cdot 32

2 \cdot (30 + 2)

2 \cdot 30 + 2 \cdot 2

60 + 4

64

x_{2} = \frac{4 + 44}{64}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 + 44

48

x_{2} = \frac{48}{64}

Simplificamos a fração

\frac{48}{64}

pelo fator comum

16

para obter a nova fração:

\frac{3}{4}

x_{2} = \frac{3}{4}

Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

32 \cdot (x + \frac{5}{8}) \cdot (x - \frac{3}{4})

(4 x - 3) \cdot (8 x + 5)

▶Fatores encontrados:

(4 x - 3) \cdot (8 x + 5)