fatoriza 3x^3+23x^2+40x-16 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

3 x^{3}

+ 23 x^{2}

+ 40 x

- 16

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -4

⇥Vamos calcular o valor de:

3 \cdot {(-4)}^{3}

+ 23 \cdot {(-4)}^{2}

+ 40 \cdot (-4)

- 16

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{3}

(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)

-64

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

40 \cdot (-4)

-160

⇥

3 \cdot (-64)

+ 23 \cdot 16

- 160

- 16

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-64)

- 3 \cdot 64

- 3 \cdot (60 + 4)

- (3 \cdot 60 + 3 \cdot 4)

- (180 + 12)

-192

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

23 \cdot 16

23 \cdot (10 + 6)

23 \cdot 10 + 23 \cdot 6

230 + 138

368

■Partimos de

-160

e recuamos mais

16

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 160 - 16

-176

⇥

- 192 + 368 - 176

⇥ⓘ Partimos de

-192

e avançamos

368

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 192 + 368

176

⇥

176 - 176

⇥ⓘ Partimos de

176

e recuamos

176

na reta numérica, até ao zero:

176 - 176

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = -4

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(3 x^{3}

+ 23 x^{2}

+ 40 x

- 16)

por

(x + 4)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$3 x^{3}$ $+ 23 x^{2}$ $+ 40 x$ $- 16$	$\frac{3 x^{3}}{x}$	$3 x^{2}$	$3 x^{2} \cdot (x + 4) = 3 x^{3} + 12 x^{2}$	$(3 x^{3}$ $+ 23 x^{2}$ $+ 40 x$ $- 16) - (3 x^{3} + 12 x^{2}) = 11 x^{2} + 40 x - 16$
$11 x^{2} + 40 x - 16$	$\frac{11 x^{2}}{x}$	$11 x$	$11 x \cdot (x + 4) = 11 x^{2} + 44 x$	$(11 x^{2} + 40 x - 16) - (11 x^{2} + 44 x) = - 4 x - 16$
$- 4 x - 16$	$- \frac{4 x}{x}$	$-4$	$-4 \cdot (x + 4) = - 4 x - 16$	$(- 4 x - 16) - (- 4 x - 16) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

3 x^{2} + 11 x - 4

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(3 x^{2} + 11 x - 4)

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 3

b = 11

c = -4

⇥

Δ = 11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-4)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

11^{2}

11 \cdot 11

121

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 12 \cdot (-4)

12 \cdot 4

⇥

Δ = 121 + 12 \cdot 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

⇥

Δ = 121 + 48

⇥ⓘ Partimos de

121

e avançamos

48

na reta numérica:

121 + 48

169

⇥

Δ = 169

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{169}

13

pois

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - 13}{6}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 11 - 13

-24

⇥

x_{1} = - \frac{24}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{24}{6}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{169}

13

pois

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + 13}{6}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 11 + 13

2

⇥

x_{2} = \frac{2}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

⇥

x_{2} = \frac{1}{3}

⇥Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

3 \cdot (x + 4) \cdot (x - \frac{1}{3})

(x + 4) \cdot (3 x - 1)

▷O fator

(3 x^{2} + 11 x - 4)

fatoriza-se como:

(x + 4) \cdot (3 x - 1)

▶Expressão fatorizada:

{(x + 4)}^{2} \cdot (3 x - 1)