fatoriza 4k^3+12k^2+11k+3 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

4 k^{3}

+ 12 k^{2}

+ 11 k

+ 3

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

k = -1

⇥Vamos calcular o valor de:

4 \cdot {(-1)}^{3}

+ 12 \cdot {(-1)}^{2}

+ 11 \cdot (-1)

+ 3

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

4 \cdot (-1)

-4

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

12 \cdot 1

12

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

11 \cdot (-1)

-11

⇥

- 4

+ 12

- 11

+ 3

⇥ⓘ Partimos de

-4

e avançamos

12

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 4 + 12

8

⇥

8 - 11 + 3

⇥ⓘ Partimos de

8

e recuamos

11

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

8 - 11

-3

⇥

- 3 + 3

⇥ⓘ Partimos de

-3

e avançamos

3

na reta numérica, até ao zero:

- 3 + 3

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

k = -1

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(4 k^{3}

+ 12 k^{2}

+ 11 k

+ 3)

por

(k + 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$4 k^{3}$ $+ 12 k^{2}$ $+ 11 k$ $+ 3$	$\frac{4 k^{3}}{k}$	$4 k^{2}$	$4 k^{2} \cdot (k + 1) = 4 k^{3} + 4 k^{2}$	$(4 k^{3}$ $+ 12 k^{2}$ $+ 11 k$ $+ 3) - (4 k^{3} + 4 k^{2}) = 8 k^{2} + 11 k + 3$
$8 k^{2} + 11 k + 3$	$\frac{8 k^{2}}{k}$	$8 k$	$8 k \cdot (k + 1) = 8 k^{2} + 8 k$	$(8 k^{2} + 11 k + 3) - (8 k^{2} + 8 k) = 3 k + 3$
$3 k + 3$	$\frac{3 k}{k}$	$3$	$3 \cdot (k + 1) = 3 k + 3$	$(3 k + 3) - (3 k + 3) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

4 k^{2} + 8 k + 3

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(4 k^{2} + 8 k + 3)

⇥Dada a forma quadrática

a k^{2} + b k + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 4

b = 8

c = 3

⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 64 - 16 \cdot 3

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

16 \cdot 3

(10 + 6) \cdot 3

10 \cdot 3 + 6 \cdot 3

30 + 18

48

⇥

Δ = 64 - 48

⇥ⓘ Partimos de

64

e recuamos

48

na reta numérica:

64 - 48

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥

k_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

k_{1} = \frac{- 8 - 4}{8}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 8 - 4

-12

⇥

k_{1} = - \frac{12}{8}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{12}{8}

- \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{3}{2}

⇥

k_{1} = - \frac{3}{2}

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥

k_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

k_{2} = \frac{- 8 + 4}{8}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 8 + 4

-4

⇥

k_{2} = - \frac{4}{8}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{8}

- \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{1}{2}

⇥

k_{2} = - \frac{1}{2}

⇥Um trinómio de raízes

k_{1}

k_{2}

escreve-se

a \cdot (k - k_{1}) \cdot (k - k_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

4 \cdot (k + \frac{1}{2}) \cdot (k + \frac{3}{2})

(2 k + 1) \cdot (2 k + 3)

▷O fator

(4 k^{2} + 8 k + 3)

fatoriza-se como:

(2 k + 1) \cdot (2 k + 3)

▶Expressão fatorizada:

(k + 1) \cdot (2 k + 1) \cdot (2 k + 3)