fatoriza 4p^2-4p-3 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

4 p^{2} - 4 p - 3

Dada a forma quadrática

a p^{2} + b p + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 4

b = -4

c = -3

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-3)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 16 \cdot (-3)

16 \cdot 3

Δ = 16 + 16 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

16 \cdot 3

(10 + 6) \cdot 3

10 \cdot 3 + 6 \cdot 3

30 + 18

48

Δ = 16 + 48

ⓘ Partimos de

16

e avançamos

48

na reta numérica:

16 + 48

64

Δ = 64

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

p_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

p_{1} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{64}

8

pois

8^{2}

64

ⅰ

2 \cdot 4

8

p_{1} = \frac{4 - 8}{8}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 - 8

-4

p_{1} = - \frac{4}{8}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{8}

- \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{1}{2}

p_{1} = - \frac{1}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

p_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

p_{2} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{64}

8

pois

8^{2}

64

ⅰ

2 \cdot 4

8

p_{2} = \frac{4 + 8}{8}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 + 8

12

p_{2} = \frac{12}{8}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

\frac{12}{8}

\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}

\frac{3}{2}

p_{2} = \frac{3}{2}

Um trinómio de raízes

p_{1}

p_{2}

escreve-se

a \cdot (p - p_{1}) \cdot (p - p_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

4 \cdot (p + \frac{1}{2}) \cdot (p - \frac{3}{2})

(2 p + 1) \cdot (2 p - 3)

▶Fatores encontrados:

(2 p + 1) \cdot (2 p - 3)