fatoriza 56x^2+31x+3 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

56 x^{2} + 31 x + 3

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 56

b = 31

c = 3

Δ = 31^{2} - 4 \cdot 56 \cdot 3

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

31^{2}

31 \cdot 31

961

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 56

4 \cdot (50 + 6)

4 \cdot 50 + 4 \cdot 6

200 + 24

224

Δ = 961 - 224 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

224 \cdot 3

(200 + 20 + 4) \cdot 3

200 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 4 \cdot 3

600 + 60 + 12

672

Δ = 961 - 672

ⓘ Partimos de

961

e recuamos

672

na reta numérica:

961 - 672

289

Δ = 289

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 31 - \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

x_{1} = \frac{- 31 - \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{289}

17

pois

17^{2}

289

ⅰ

2 \cdot 56

2 \cdot (50 + 6)

2 \cdot 50 + 2 \cdot 6

100 + 12

112

x_{1} = \frac{- 31 - 17}{112}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 31 - 17

-48

x_{1} = - \frac{48}{112}

Simplificamos a fração

\frac{48}{112}

pelo fator comum

16

para obter a nova fração:

\frac{3}{7}

x_{1} = - \frac{3}{7}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 31 + \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

x_{2} = \frac{- 31 + \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{289}

17

pois

17^{2}

289

ⅰ

2 \cdot 56

2 \cdot (50 + 6)

2 \cdot 50 + 2 \cdot 6

100 + 12

112

x_{2} = \frac{- 31 + 17}{112}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 31 + 17

-14

x_{2} = - \frac{14}{112}

Simplificamos a fração

\frac{14}{112}

pelo fator comum

14

para obter a nova fração:

\frac{1}{8}

x_{2} = - \frac{1}{8}

Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

56 \cdot (x + \frac{1}{8}) \cdot (x + \frac{3}{7})

(7 x + 3) \cdot (8 x + 1)

▶Fatores encontrados:

(7 x + 3) \cdot (8 x + 1)