fatoriza 5k^2-18k+9 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

5 k^{2} - 18 k + 9

Dada a forma quadrática

a k^{2} + b k + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 5

b = -18

c = 9

Δ = {(-18)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 9

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-18)}^{2}

(-18) \cdot (-18)

324

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 5

20

Δ = 324 - 20 \cdot 9

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

20 \cdot 9

180

Δ = 324 - 180

ⓘ Partimos de

324

e recuamos

180

na reta numérica:

324 - 180

144

Δ = 144

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-18) - \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

k_{1} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{144}

12

pois

12^{2}

144

ⅰ

2 \cdot 5

10

k_{1} = \frac{18 - 12}{10}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

18 - 12

6

k_{1} = \frac{6}{10}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{10}

\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}

\frac{3}{5}

k_{1} = \frac{3}{5}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-18) + \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

k_{2} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{144}

12

pois

12^{2}

144

ⅰ

2 \cdot 5

10

k_{2} = \frac{18 + 12}{10}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

18 + 12

30

k_{2} = \frac{30}{10}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

10

, o seu máximo divisor comum:

\frac{30}{10}

3

k_{2} = 3

Um trinómio de raízes

k_{1}

k_{2}

escreve-se

a \cdot (k - k_{1}) \cdot (k - k_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

5 \cdot (k - 3) \cdot (k - \frac{3}{5})

(k - 3) \cdot (5 k - 3)

▶Fatores encontrados:

(k - 3) \cdot (5 k - 3)