fatoriza 5x^2-43x+24 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

5 x^{2} - 43 x + 24

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 5

b = -43

c = 24

Δ = {(-43)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-43)}^{2}

(-43) \cdot (-43)

1849

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 5

20

Δ = 1849 - 20 \cdot 24

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

20 \cdot 24

20 \cdot (20 + 4)

20 \cdot 20 + 20 \cdot 4

400 + 80

480

Δ = 1849 - 480

ⓘ Partimos de

1849

e recuamos

480

na reta numérica:

1849 - 480

1369

Δ = 1369

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-43) - \sqrt{1369}}{2 \cdot 5}

x_{1} = \frac{43 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 5}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{1369}

37

pois

37^{2}

1369

ⅰ

2 \cdot 5

10

x_{1} = \frac{43 - 37}{10}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

43 - 37

6

x_{1} = \frac{6}{10}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{10}

\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}

\frac{3}{5}

x_{1} = \frac{3}{5}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-43) + \sqrt{1369}}{2 \cdot 5}

x_{2} = \frac{43 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 5}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{1369}

37

pois

37^{2}

1369

ⅰ

2 \cdot 5

10

x_{2} = \frac{43 + 37}{10}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

43 + 37

80

x_{2} = \frac{80}{10}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

10

, o seu máximo divisor comum:

\frac{80}{10}

8

x_{2} = 8

Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

5 \cdot (x - 8) \cdot (x - \frac{3}{5})

(x - 8) \cdot (5 x - 3)

▶Fatores encontrados:

(x - 8) \cdot (5 x - 3)