fatoriza 5x^3+30x^2-10x — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

5 x^{3} + 30 x^{2} - 10 x

Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (5 x^{2} + 30 x - 10)

Vamos fatorizar em

ℝ

(5 x^{2} + 30 x - 10)

Colocamos em evidência

5

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

5 x^{2} + 30 x - 10

5 \cdot (x^{2} + 6 x - 2)

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 6

c = -2

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-2)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 36 + 8

ⓘ Partimos de

36

e avançamos

8

na reta numérica:

36 + 8

44

Δ = 44

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{44}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{44}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

44

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{44}

\sqrt{4 \cdot 11}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{11}

2 \cdot \sqrt{11}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 6 - 2 \cdot \sqrt{11}

- (6 + 2 \cdot \sqrt{11})

x_{1} = - \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{11})}{2}

- (3 + \sqrt{11})

x_{1} = - (3 + \sqrt{11})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 + \sqrt{11})

- 3 - \sqrt{11}

x_{1} = - 3 - \sqrt{11}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{44}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{44}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

44

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{44}

\sqrt{4 \cdot 11}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{11}

2 \cdot \sqrt{11}

x_{2} = \frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{11})}{2}

- 3 + \sqrt{11}

x_{2} = - 3 + \sqrt{11}

Fatores encontrados:

(x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

▷O fator

(5 x^{2} + 30 x - 10)

fatoriza-se como:

5 \cdot (x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

2) Vamos substituir cada fator pela sua fatorização:

x \cdot 5 \cdot (x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\sqrt{11} - 3)

- \sqrt{11} + 3

- (- \sqrt{11} - 3)

\sqrt{11} + 3

x \cdot 5 \cdot (x - \sqrt{11} + 3) \cdot (x + \sqrt{11} + 3)

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum

x

▶Expressão fatorizada:

5 x \cdot (x + \sqrt{11} + 3) \cdot (x - \sqrt{11} + 3)