fatoriza (3y-1)^2+7(3y-1)-44 — solução passo a passo

Vamos fatorizar em

ℝ

{(3 y - 1)}^{2} + 7 \cdot (3 y - 1) - 44

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(3 y - 1)}^{2}

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1)

■Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

7 \cdot (3 y - 1)

21 y - 7

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1)

+ 21 y

- 7

- 44

ⓘ Partimos de

-7

e recuamos mais

44

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 7 - 44

-51

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1) + 21 y - 51

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1)

3 \cdot y \cdot 3 \cdot y

+ 3 y \cdot (-1)

- 1 \cdot 3 y

- 1 \cdot (-1)

3 \cdot y \cdot 3 \cdot y

+ 3 y \cdot (-1)

- 1 \cdot 3 y

- 1 \cdot (-1)

+ 21 y

- 51

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 3

9

1 \cdot 3 y

3 y

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

y \cdot y

y^{2}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-1)

-3

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-1 \cdot (-1)

1

9 y^{2}

- 3 y

- 3 y

+ 1

+ 21 y

- 51

ⓘ Partimos de

1

e recuamos

51

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 51

-50

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 y - 3 y + 21 y

15 y

9 y^{2} + 15 y - 50

Dada a forma quadrática

a y^{2} + b y + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 9

b = 15

c = -50

Δ = 15^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (-50)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

15^{2}

15 \cdot 15

225

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 9

36

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 36 \cdot (-50)

36 \cdot 50

Δ = 225 + 36 \cdot 50

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

36 \cdot 50

(30 + 6) \cdot 50

30 \cdot 50 + 6 \cdot 50

1500 + 300

1800

Δ = 225 + 1800

ⓘ Partimos de

225

e avançamos

1800

na reta numérica:

225 + 1800

2025

Δ = 2025

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 15 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

y_{1} = \frac{- 15 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{2025}

45

pois

45^{2}

2025

ⅰ

2 \cdot 9

18

y_{1} = \frac{- 15 - 45}{18}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 15 - 45

-60

y_{1} = - \frac{60}{18}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{60}{18}

- \frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 6}

- \frac{10}{3}

y_{1} = - \frac{10}{3}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 15 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

y_{2} = \frac{- 15 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{2025}

45

pois

45^{2}

2025

ⅰ

2 \cdot 9

18

y_{2} = \frac{- 15 + 45}{18}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 15 + 45

30

y_{2} = \frac{30}{18}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{30}{18}

\frac{5 \cdot 6}{3 \cdot 6}

\frac{5}{3}

y_{2} = \frac{5}{3}

Um trinómio de raízes

y_{1}

y_{2}

escreve-se

a \cdot (y - y_{1}) \cdot (y - y_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

9 \cdot (y - \frac{5}{3}) \cdot (y + \frac{10}{3})

(3 y - 5) \cdot (3 y + 10)

▶Fatores encontrados:

(3 y - 5) \cdot (3 y + 10)