fatoriza (8x^2+22x+15)/(4x+5) — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

\frac{8 x^{2} + 22 x + 15}{4 x + 5}

Fatorizamos o numerador e o denominador procurando as suas raízes; as do denominador serão valores excluídos

2) Vamos fatorizar o numerador:

8 x^{2} + 22 x + 15

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 8

b = 22

c = 15

Δ = 22^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 15

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

22^{2}

22 \cdot 22

484

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 8

32

Δ = 484 - 32 \cdot 15

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

32 \cdot 15

32 \cdot (10 + 5)

32 \cdot 10 + 32 \cdot 5

320 + 160

480

Δ = 484 - 480

ⓘ Partimos de

484

e recuamos

480

na reta numérica:

484 - 480

4

Δ = 4

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

x_{1} = \frac{- 22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

ⅰ

2 \cdot 8

16

x_{1} = \frac{- 22 - 2}{16}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 22 - 2

-24

x_{1} = - \frac{24}{16}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

8

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{24}{16}

- \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8}

- \frac{3}{2}

x_{1} = - \frac{3}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

x_{2} = \frac{- 22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

ⅰ

2 \cdot 8

16

x_{2} = \frac{- 22 + 2}{16}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 22 + 2

-20

x_{2} = - \frac{20}{16}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{20}{16}

- \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4}

- \frac{5}{4}

x_{2} = - \frac{5}{4}

Um trinómio de raízes

x_{1}

x_{2}

escreve-se

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

8 \cdot (x + \frac{3}{2}) \cdot (x + \frac{5}{4})

(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)

▷O numerador

8 x^{2} + 22 x + 15

fatoriza-se como:

(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)

As raízes do denominador são os valores excluídos:

x \neq - \frac{5}{4}

3) Vamos substituir o numerador e o denominador pelas suas fatorizações:

\frac{(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)}{4 x + 5}

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

4 x + 5

\frac{(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)}{4 x + 5}

2 x + 3

▶Fator encontrado:

2 x + 3