fatoriza (x+2)/(x^2-3x-10) — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}

Fatorizamos o numerador e o denominador procurando as suas raízes; as do denominador serão valores excluídos

2) Vamos fatorizar o denominador:

x^{2} - 3 x - 10

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -3

c = -10

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-10)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-10)

40

Δ = 9 + 40

ⓘ Partimos de

9

e avançamos

40

na reta numérica:

9 + 40

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

x_{1} = \frac{3 - 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 - 7

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

x_{2} = \frac{3 + 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 + 7

10

x_{2} = \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{10}{2}

5

x_{2} = 5

▷O denominador

x^{2} - 3 x - 10

fatoriza-se como:

(x + 2) \cdot (x - 5)

As raízes do denominador são os valores excluídos:

x \in ℝ \ {-2; 5}

3) Vamos substituir o numerador e o denominador pelas suas fatorizações:

\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x - 5)}

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x + 2

\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x - 5)}

\frac{1}{x - 5}

▶Fatores encontrados:

\frac{1}{x - 5}