fatoriza (x^2-9x+20)/(16-x^2) — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

\frac{x^{2} - 9 x + 20}{16 - x^{2}}

Fatorizamos o numerador e o denominador procurando as suas raízes; as do denominador serão valores excluídos

2) Vamos fatorizar o numerador:

x^{2} - 9 x + 20

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -9

c = 20

Δ = {(-9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-9)}^{2}

(-9) \cdot (-9)

81

Δ = 81 - 4 \cdot 20

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 20

80

Δ = 81 - 80

ⓘ Partimos de

81

e recuamos

80

na reta numérica:

81 - 80

1

Δ = 1

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{9 - 1}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

9 - 1

8

x_{1} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

x_{1} = 4

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{9 + 1}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

9 + 1

10

x_{2} = \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{10}{2}

5

x_{2} = 5

▷O numerador

x^{2} - 9 x + 20

fatoriza-se como:

(x - 4) \cdot (x - 5)

3) Vamos fatorizar o denominador:

16 - x^{2}

Para

16 - x^{2}

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

4^{2} - x^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = 4

b = x

▷O denominador

16 - x^{2}

fatoriza-se como:

(4 - x) \cdot (x + 4)

As raízes do denominador são os valores excluídos:

x \in ℝ \ {-4; 4}

4) Vamos substituir o numerador e o denominador pelas suas fatorizações:

\frac{(x - 4) \cdot (x - 5)}{(4 - x) \cdot (x + 4)}

Simplificamos a fração

\frac{x - 4}{4 - x}

pelo fator comum

x - 4

para obter a nova expressão:

-1

\frac{x - 5}{-1 \cdot (x + 4)}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot (x + 4)

- (x + 4)

\frac{x - 5}{- (x + 4)}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{x - 5}{- (x + 4)}

- \frac{x - 5}{x + 4}

- \frac{x - 5}{x + 4}

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{x - 5}{x + 4}

\frac{- x + 5}{x + 4}

\frac{- x + 5}{x + 4}

▶Fatores encontrados:

\frac{5 - x}{x + 4}