fatoriza -λ^3+3λ+2 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

- λ^{3} + 3 λ + 2

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

λ = -1

⇥Vamos calcular o valor de:

- {(-1)}^{3} + 3 \cdot (-1) + 2

⇥ⓘ Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

- {(-1)}^{3}

- ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1))

- (-1)

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-1)

-3

⇥

- (-1) - 3 + 2

⇥ⓘ Subtrair um número negativo equivale a somar o seu oposto: dois sinais de menos dão um mais:

- (-1)

1

■Partimos de

-3

e avançamos

2

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 3 + 2

-1

⇥

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

λ = -1

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(- λ^{3} + 3 λ + 2)

por

(λ + 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$- λ^{3} + 3 λ + 2$	$- \frac{λ^{3}}{λ}$	$- λ^{2}$	$- λ^{2} \cdot (λ + 1) = - λ^{3} - λ^{2}$	$(- λ^{3} + 3 λ + 2) - (- λ^{3} - λ^{2}) = λ^{2} + 3 λ + 2$
$λ^{2} + 3 λ + 2$	$\frac{λ^{2}}{λ}$	$λ$	$λ \cdot (λ + 1) = λ^{2} + λ$	$(λ^{2} + 3 λ + 2) - (λ^{2} + λ) = 2 λ + 2$
$2 λ + 2$	$\frac{2 λ}{λ}$	$2$	$2 \cdot (λ + 1) = 2 λ + 2$	$(2 λ + 2) - (2 λ + 2) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

- λ^{2} + λ + 2

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(- λ^{2} + λ + 2)

⇥Dada a forma quadrática

a λ^{2} + b λ + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = -1

b = 1

c = 2

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-1) \cdot 2

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 1 + 4 \cdot 2

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

λ_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥

λ_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

λ_{1} = \frac{- 1 - 3}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 1 - 3}{-2}

- (\frac{- 1 - 3}{2})

⇥

λ_{1} = - (\frac{- 1 - 3}{2})

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 - 3

-4

⇥

λ_{1} = - (\frac{-4}{2})

⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-4}{2})

\frac{4}{2}

⇥

λ_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

⇥

λ_{1} = 2

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

λ_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥

λ_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

λ_{2} = \frac{- 1 + 3}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 1 + 3}{-2}

- (\frac{- 1 + 3}{2})

⇥

λ_{2} = - (\frac{- 1 + 3}{2})

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 3

2

⇥

λ_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

λ_{2} = -1

▷O fator

(- λ^{2} + λ + 2)

fatoriza-se como:

- (λ + 1) \cdot (λ - 2)

2) Vamos substituir cada fator pela sua fatorização:

(λ + 1) \cdot (- (λ + 1) \cdot (λ - 2))

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

(λ + 1) \cdot (- (λ + 1)) \cdot (λ - 2)

- (λ + 1) \cdot (λ + 1) \cdot (λ - 2)

ⅰ

- λ^{2} + λ + 2

- (λ + 1) \cdot (λ - 2)

- (λ + 1) \cdot (λ + 1) \cdot (λ - 2)

▶Expressão fatorizada:

- {(λ + 1)}^{2} \cdot (λ - 2)