fatoriza -a^3+4a^2-5a+2 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

- a^{3}

+ 4 a^{2}

- 5 a

+ 2

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

a = 1

⇥Vamos calcular o valor de:

- 1^{3}

+ 4 \cdot 1^{2}

- 5 \cdot 1

+ 2

⇥

- 1

+ 4

- 5

+ 2

⇥ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

4

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 1 + 4

3

⇥

3 - 5 + 2

⇥ⓘ Partimos de

3

e recuamos

5

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

3 - 5

-2

⇥

- 2 + 2

⇥ⓘ Partimos de

-2

e avançamos

2

na reta numérica, até ao zero:

- 2 + 2

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

a = 1

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(- a^{3}

+ 4 a^{2}

- 5 a

+ 2)

por

(a - 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$- a^{3}$ $+ 4 a^{2}$ $- 5 a$ $+ 2$	$- \frac{a^{3}}{a}$	$- a^{2}$	$- a^{2} \cdot (a - 1) = - a^{3} + a^{2}$	$(- a^{3}$ $+ 4 a^{2}$ $- 5 a$ $+ 2) - (- a^{3} + a^{2}) = 3 a^{2} - 5 a + 2$
$3 a^{2} - 5 a + 2$	$\frac{3 a^{2}}{a}$	$3 a$	$3 a \cdot (a - 1) = 3 a^{2} - 3 a$	$(3 a^{2} - 5 a + 2) - (3 a^{2} - 3 a) = - 2 a + 2$
$- 2 a + 2$	$- \frac{2 a}{a}$	$-2$	$-2 \cdot (a - 1) = - 2 a + 2$	$(- 2 a + 2) - (- 2 a + 2) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

- a^{2} + 3 a - 2

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(- a^{2} + 3 a - 2)

⇥Dada a forma quadrática

A a^{2} + B a + C

, calculamos o discriminante:

Δ = B^{2} - 4 A C

. Aqui

A = -1

B = 3

C = -2

⇥

Δ = 3^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-1)

4

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

4 \cdot (-2)

- 4 \cdot 2

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot 2

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 9 - 8

⇥ⓘ Partimos de

9

e recuamos

8

na reta numérica:

9 - 8

1

⇥

Δ = 1

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

a_{1}

\frac{- B - \sqrt{Δ}}{2 A}

\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)}

⇥

a_{1} = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 - 1

-4

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

a_{1} = \frac{-4}{-2}

⇥ⓘ Os sinais de menos do numerador e do denominador anulam-se:

\frac{-4}{-2}

\frac{4}{2}

⇥

a_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

⇥

a_{1} = 2

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

a_{2}

\frac{- B + \sqrt{Δ}}{2 A}

\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)}

⇥

a_{2} = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 + 1

-2

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

a_{2} = \frac{-2}{-2}

⇥ⓘ Os sinais de menos do numerador e do denominador anulam-se:

\frac{-2}{-2}

\frac{2}{2}

⇥

a_{2} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥

a_{2} = 1

▷O fator

(- a^{2} + 3 a - 2)

fatoriza-se como:

- (a - 1) \cdot (a - 2)

2) Vamos substituir cada fator pela sua fatorização:

(a - 1) \cdot (- (a - 1) \cdot (a - 2))

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

(a - 1) \cdot (- (a - 1)) \cdot (a - 2)

- (a - 1) \cdot (a - 1) \cdot (a - 2)

ⅰ

- a^{2} + 3 a - 2

- (a - 1) \cdot (a - 2)

- (a - 1) \cdot (a - 1) \cdot (a - 2)

▶Expressão fatorizada:

- {(a - 1)}^{2} \cdot (a - 2)