fatoriza r^3-25r^2-9r+225 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

r^{3}

- 25 r^{2}

- 9 r

+ 225

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

r = 3

⇥Vamos calcular o valor de:

3^{3}

- 25 \cdot 3^{2}

- 9 \cdot 3

+ 225

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

9 \cdot 3

27

⇥

27

- 25 \cdot 9

- 27

+ 225

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

25 \cdot 9

(20 + 5) \cdot 9

20 \cdot 9 + 5 \cdot 9

180 + 45

225

⇥

27

- 225

- 27

+ 225

⇥ⓘ Partimos de

27

e recuamos

225

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

27 - 225

-198

⇥

- 198 - 27 + 225

⇥ⓘ Partimos de

-198

e recuamos mais

27

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 198 - 27

-225

⇥

- 225 + 225

⇥ⓘ Partimos de

-225

e avançamos

225

na reta numérica, até ao zero:

- 225 + 225

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

r = 3

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(r^{3}

- 25 r^{2}

- 9 r

+ 225)

por

(r - 3)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$r^{3}$ $- 25 r^{2}$ $- 9 r$ $+ 225$	$\frac{r^{3}}{r}$	$r^{2}$	$r^{2} \cdot (r - 3) = r^{3} - 3 r^{2}$	$(r^{3}$ $- 25 r^{2}$ $- 9 r$ $+ 225) - (r^{3} - 3 r^{2}) = - 22 r^{2} - 9 r + 225$
$- 22 r^{2} - 9 r + 225$	$- \frac{22 r^{2}}{r}$	$- 22 r$	$- 22 r \cdot (r - 3) = - 22 r^{2} + 66 r$	$(- 22 r^{2} - 9 r + 225) - (- 22 r^{2} + 66 r) = - 75 r + 225$
$- 75 r + 225$	$- \frac{75 r}{r}$	$-75$	$-75 \cdot (r - 3) = - 75 r + 225$	$(- 75 r + 225) - (- 75 r + 225) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

r^{2} - 22 r - 75

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(r^{2} - 22 r - 75)

⇥Dada a forma quadrática

a r^{2} + b r + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -22

c = -75

⇥

Δ = {(-22)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-75)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-22)}^{2}

(-22) \cdot (-22)

484

⇥

Δ = 484 - 4 \cdot (-75)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-75)

4 \cdot 75

4 \cdot (70 + 5)

4 \cdot 70 + 4 \cdot 5

280 + 20

300

⇥

Δ = 484 + 300

⇥ⓘ Partimos de

484

e avançamos

300

na reta numérica:

484 + 300

784

⇥

Δ = 784

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

r_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-22) - \sqrt{784}}{2 \cdot 1}

⇥

r_{1} = \frac{22 - \sqrt{784}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{784}

28

pois

28^{2}

784

⇥

r_{1} = \frac{22 - 28}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

22 - 28

-6

⇥

r_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

r_{1} = -3

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

r_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-22) + \sqrt{784}}{2 \cdot 1}

⇥

r_{2} = \frac{22 + \sqrt{784}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{784}

28

pois

28^{2}

784

⇥

r_{2} = \frac{22 + 28}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

22 + 28

50

⇥

r_{2} = \frac{50}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{50}{2}

25

⇥

r_{2} = 25

▷O fator

(r^{2} - 22 r - 75)

fatoriza-se como:

(r + 3) \cdot (r - 25)

▶Expressão fatorizada:

(r + 3) \cdot (r - 3) \cdot (r - 25)