fatoriza x^3-5x^2-18x+72 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{3}

- 5 x^{2}

- 18 x

+ 72

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = 3

⇥Vamos calcular o valor de:

3^{3}

- 5 \cdot 3^{2}

- 18 \cdot 3

+ 72

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

⇥

27

- 5 \cdot 9

- 54

+ 72

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 9

45

⇥

27

- 45

- 54

+ 72

⇥ⓘ Partimos de

27

e recuamos

45

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

27 - 45

-18

⇥

- 18 - 54 + 72

⇥ⓘ Partimos de

-18

e recuamos mais

54

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 18 - 54

-72

⇥

- 72 + 72

⇥ⓘ Partimos de

-72

e avançamos

72

na reta numérica, até ao zero:

- 72 + 72

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = 3

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 18 x

+ 72)

por

(x - 3)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 18 x$ $+ 72$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 18 x$ $+ 72) - (x^{3} - 3 x^{2}) = - 2 x^{2} - 18 x + 72$
$- 2 x^{2} - 18 x + 72$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x - 3) = - 2 x^{2} + 6 x$	$(- 2 x^{2} - 18 x + 72) - (- 2 x^{2} + 6 x) = - 24 x + 72$
$- 24 x + 72$	$- \frac{24 x}{x}$	$-24$	$-24 \cdot (x - 3) = - 24 x + 72$	$(- 24 x + 72) - (- 24 x + 72) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{2} - 2 x - 24

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} - 2 x - 24)

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = -24

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-24)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-24)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-24)

4 \cdot 24

4 \cdot (20 + 4)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 4

80 + 16

96

⇥

Δ = 4 + 96

⇥ⓘ Partimos de

4

e avançamos

96

na reta numérica:

4 + 96

100

⇥

Δ = 100

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{100}

10

pois

10^{2}

100

⇥

x_{1} = \frac{2 - 10}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 - 10

-8

⇥

x_{1} = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{8}{2}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{100}

10

pois

10^{2}

100

⇥

x_{2} = \frac{2 + 10}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 10

12

⇥

x_{2} = \frac{12}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{12}{2}

6

⇥

x_{2} = 6

▷O fator

(x^{2} - 2 x - 24)

fatoriza-se como:

(x + 4) \cdot (x - 6)

▶Expressão fatorizada:

(x + 4) \cdot (x - 3) \cdot (x - 6)