fatoriza x^3-8x^2+17x-10 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{3}

- 8 x^{2}

+ 17 x

- 10

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = 1

⇥Vamos calcular o valor de:

1^{3}

- 8 \cdot 1^{2}

+ 17 \cdot 1

- 10

⇥

1

- 8

+ 17

- 10

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

8

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 8

-7

⇥

- 7 + 17 - 10

⇥ⓘ Partimos de

-7

e avançamos

17

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 7 + 17

10

⇥

10 - 10

⇥ⓘ Partimos de

10

e recuamos

10

na reta numérica, até ao zero:

10 - 10

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = 1

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{3}

- 8 x^{2}

+ 17 x

- 10)

por

(x - 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ 17 x$ $- 10$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 1) = x^{3} - x^{2}$	$(x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ 17 x$ $- 10) - (x^{3} - x^{2}) = - 7 x^{2} + 17 x - 10$
$- 7 x^{2} + 17 x - 10$	$- \frac{7 x^{2}}{x}$	$- 7 x$	$- 7 x \cdot (x - 1) = - 7 x^{2} + 7 x$	$(- 7 x^{2} + 17 x - 10) - (- 7 x^{2} + 7 x) = 10 x - 10$
$10 x - 10$	$\frac{10 x}{x}$	$10$	$10 \cdot (x - 1) = 10 x - 10$	$(10 x - 10) - (10 x - 10) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{2} - 7 x + 10

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} - 7 x + 10)

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -7

c = 10

⇥

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

⇥

Δ = 49 - 4 \cdot 10

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 10

40

⇥

Δ = 49 - 40

⇥ⓘ Partimos de

49

e recuamos

40

na reta numérica:

49 - 40

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{7 - 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 - 3

4

⇥

x_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{1} = 2

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{7 + 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 + 3

10

⇥

x_{2} = \frac{10}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{10}{2}

5

⇥

x_{2} = 5

▷O fator

(x^{2} - 7 x + 10)

fatoriza-se como:

(x - 2) \cdot (x - 5)

▶Expressão fatorizada:

(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)