fatoriza x^3-x^2-8x+12 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{3}

- x^{2}

- 8 x

+ 12

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = 2

⇥Vamos calcular o valor de:

2^{3}

- 2^{2}

- 8 \cdot 2

+ 12

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 2

16

⇥

8

- 4

- 16

+ 12

⇥ⓘ Partimos de

8

e recuamos

4

na reta numérica:

8 - 4

4

⇥

4 - 16 + 12

⇥ⓘ Partimos de

4

e recuamos

16

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

4 - 16

-12

⇥

- 12 + 12

⇥ⓘ Partimos de

-12

e avançamos

12

na reta numérica, até ao zero:

- 12 + 12

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = 2

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{3}

- x^{2}

- 8 x

+ 12)

por

(x - 2)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3}$ $- x^{2}$ $- 8 x$ $+ 12$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- x^{2}$ $- 8 x$ $+ 12) - (x^{3} - 2 x^{2}) = x^{2} - 8 x + 12$
$x^{2} - 8 x + 12$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 2) = x^{2} - 2 x$	$(x^{2} - 8 x + 12) - (x^{2} - 2 x) = - 6 x + 12$
$- 6 x + 12$	$- \frac{6 x}{x}$	$-6$	$-6 \cdot (x - 2) = - 6 x + 12$	$(- 6 x + 12) - (- 6 x + 12) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{2} + x - 6

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} + x - 6)

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 1

c = -6

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-6)

24

⇥

Δ = 1 + 24

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

24

na reta numérica:

1 + 24

25

⇥

Δ = 25

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 - 5

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 5

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

▷O fator

(x^{2} + x - 6)

fatoriza-se como:

(x + 3) \cdot (x - 2)

▶Expressão fatorizada:

(x + 3) \cdot {(x - 2)}^{2}