fatoriza x^4+2x^3+1 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{4} + 2 x^{3} + 1

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -1

⇥Vamos calcular o valor de:

{(-1)}^{4} + 2 \cdot {(-1)}^{3} + 1

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

1 - 2 + 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

2

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 2

-1

⇥

- 1 + 1

⇥ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

1

na reta numérica, até ao zero:

- 1 + 1

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = -1

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{4} + 2 x^{3} + 1)

por

(x + 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{4} + 2 x^{3} + 1$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 1) = x^{4} + x^{3}$	$(x^{4} + 2 x^{3} + 1) - (x^{4} + x^{3}) = x^{3} + 1$
$x^{3} + 1$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 1) = x^{3} + x^{2}$	$(x^{3} + 1) - (x^{3} + x^{2}) = - x^{2} + 1$
$- x^{2} + 1$	$- \frac{x^{2}}{x}$	$- x$	$- x \cdot (x + 1) = - x^{2} - x$	$(- x^{2} + 1) - (- x^{2} - x) = x + 1$
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x + 1 = x + 1$	$(x + 1) - (x + 1) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{3}

+ x^{2}

- x

+ 1

ⅰ

x^{4} + 2 x^{3} + 1

(x + 1) \cdot (x^{3}

+ x^{2}

- x

+ 1)

▶Expressão fatorizada:

(x + 1) \cdot (x^{3}

+ x^{2}

- x

+ 1)