fatoriza x^4+2x^3-5x^2-12x-4 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{4}

+ 2 x^{3}

- 5 x^{2}

- 12 x

- 4

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -2

⇥Vamos calcular o valor de:

{(-2)}^{4}

+ 2 \cdot {(-2)}^{3}

- 5 \cdot {(-2)}^{2}

- 12 \cdot (-2)

- 4

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{4}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

16

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 12 \cdot (-2)

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

16

+ 2 \cdot (-8)

- 5 \cdot 4

+ 24

- 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-8)

-16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 4

20

⇥

16

- 16

- 20

+ 24

- 4

⇥ⓘ Partimos de

16

e recuamos

16

na reta numérica, até ao zero:

16 - 16

0

⇥

0

- 20

+ 24

- 4

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 20

-20

■Partimos de

-20

e avançamos

24

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 20 + 24

4

⇥

4 - 4

⇥ⓘ Partimos de

4

e recuamos

4

na reta numérica, até ao zero:

4 - 4

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = -2

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{4}

+ 2 x^{3}

- 5 x^{2}

- 12 x

- 4)

por

(x + 2)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{4}$ $+ 2 x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 12 x$ $- 4$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 2) = x^{4} + 2 x^{3}$	$(x^{4}$ $+ 2 x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 12 x$ $- 4) - (x^{4} + 2 x^{3}) = - 5 x^{2} - 12 x - 4$
$- 5 x^{2} - 12 x - 4$	$- \frac{5 x^{2}}{x}$	$- 5 x$	$- 5 x \cdot (x + 2) = - 5 x^{2} - 10 x$	$(- 5 x^{2} - 12 x - 4) - (- 5 x^{2} - 10 x) = - 2 x - 4$
$- 2 x - 4$	$- \frac{2 x}{x}$	$-2$	$-2 \cdot (x + 2) = - 2 x - 4$	$(- 2 x - 4) - (- 2 x - 4) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{3} - 5 x - 2

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{3} - 5 x - 2)

⇥⇥1.3.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -2

⇥⇥Vamos calcular o valor de:

{(-2)}^{3} - 5 \cdot (-2) - 2

⇥⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 5 \cdot (-2)

10

⇥⇥

- 8 + 10 - 2

⇥⇥ⓘ Partimos de

-8

e avançamos

10

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 8 + 10

2

⇥⇥

2 - 2

⇥⇥ⓘ Partimos de

2

e recuamos

2

na reta numérica, até ao zero:

2 - 2

0

⇥⇥

0

⇥⇥Raiz encontrada:

x = -2

⇥⇥1.3.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{3} - 5 x - 2)

por

(x + 2)

⇥⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3} - 5 x - 2$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3} - 5 x - 2) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 2 x^{2} - 5 x - 2$
$- 2 x^{2} - 5 x - 2$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x + 2) = - 2 x^{2} - 4 x$	$(- 2 x^{2} - 5 x - 2) - (- 2 x^{2} - 4 x) = - x - 2$
$- x - 2$	$- \frac{x}{x}$	$-1$	$-1 \cdot (x + 2) = - x - 2$	$(- x - 2) - (- x - 2) = 0$

⇥⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{2} - 2 x - 1

⇥⇥1.3.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} - 2 x - 1)

⇥⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = -1

⇥⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

⇥⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-1)

⇥⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

⇥⇥

Δ = 4 + 4

⇥⇥ⓘ Partimos de

4

e avançamos

4

na reta numérica:

4 + 4

8

⇥⇥

Δ = 8

⇥⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{8}}{2}

⇥⇥ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

8

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥⇥

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{2})}{2}

1 - \sqrt{2}

⇥⇥

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

⇥⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{8}}{2}

⇥⇥ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

8

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥⇥

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{2}

1 + \sqrt{2}

⇥⇥

x_{2} = 1 + \sqrt{2}

▷O fator

(x^{2} - 2 x - 1)

fatoriza-se como:

(x - (1 + \sqrt{2})) \cdot (x - (1 - \sqrt{2}))

⇥1.4) Vamos substituir cada fator pela sua fatorização:

(x + 2) \cdot (x - (1 + \sqrt{2})) \cdot (x - (1 - \sqrt{2}))

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (1 + \sqrt{2})

- 1 - \sqrt{2}

- (1 - \sqrt{2})

- 1 + \sqrt{2}

⇥

(x + 2) \cdot (x - 1 - \sqrt{2}) \cdot (x - 1 + \sqrt{2})

▷O fator

(x^{3} - 5 x - 2)

fatoriza-se como:

(x + 2) \cdot (x + \sqrt{2} - 1) \cdot (x - \sqrt{2} - 1)

▶Expressão fatorizada:

{(x + 2)}^{2} \cdot (x + \sqrt{2} - 1) \cdot (x - \sqrt{2} - 1)