fatoriza x^4-4x^3-7x^2+22x+24 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{4}

- 4 x^{3}

- 7 x^{2}

+ 22 x

+ 24

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -1

⇥Vamos calcular o valor de:

{(-1)}^{4}

- 4 \cdot {(-1)}^{3}

- 7 \cdot {(-1)}^{2}

+ 22 \cdot (-1)

+ 24

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

- 4 \cdot (-1)

4

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

7 \cdot 1

7

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

22 \cdot (-1)

-22

⇥

1

+ 4

- 7

- 22

+ 24

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

4

na reta numérica:

1 + 4

5

⇥

5

- 7

- 22

+ 24

⇥ⓘ Partimos de

5

e recuamos

7

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

5 - 7

-2

⇥

- 2 - 22 + 24

⇥ⓘ Partimos de

-2

e recuamos mais

22

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 2 - 22

-24

⇥

- 24 + 24

⇥ⓘ Partimos de

-24

e avançamos

24

na reta numérica, até ao zero:

- 24 + 24

0

⇥

0

⇥Raiz encontrada:

x = -1

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{4}

- 4 x^{3}

- 7 x^{2}

+ 22 x

+ 24)

por

(x + 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{4}$ $- 4 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 1) = x^{4} + x^{3}$	$(x^{4}$ $- 4 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24) - (x^{4} + x^{3}) = - 5 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24$
$- 5 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24$	$- \frac{5 x^{3}}{x}$	$- 5 x^{2}$	$- 5 x^{2} \cdot (x + 1) = - 5 x^{3} - 5 x^{2}$	$(- 5 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24) - (- 5 x^{3} - 5 x^{2}) = - 2 x^{2} + 22 x + 24$
$- 2 x^{2} + 22 x + 24$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x + 1) = - 2 x^{2} - 2 x$	$(- 2 x^{2} + 22 x + 24) - (- 2 x^{2} - 2 x) = 24 x + 24$
$24 x + 24$	$\frac{24 x}{x}$	$24$	$24 \cdot (x + 1) = 24 x + 24$	$(24 x + 24) - (24 x + 24) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24

⇥1.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24)

⇥⇥1.3.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -2

⇥⇥Vamos calcular o valor de:

{(-2)}^{3}

- 5 \cdot {(-2)}^{2}

- 2 \cdot (-2)

+ 24

⇥⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 2 \cdot (-2)

4

⇥⇥

- 8

- 5 \cdot 4

+ 4

+ 24

⇥⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 4

20

⇥⇥

- 8

- 20

+ 4

+ 24

⇥⇥ⓘ Partimos de

-8

e recuamos mais

20

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 8 - 20

-28

⇥⇥

- 28 + 4 + 24

⇥⇥ⓘ Partimos de

-28

e avançamos

4

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 28 + 4

-24

⇥⇥

- 24 + 24

⇥⇥ⓘ Partimos de

-24

e avançamos

24

na reta numérica, até ao zero:

- 24 + 24

0

⇥⇥

0

⇥⇥Raiz encontrada:

x = -2

⇥⇥1.3.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24)

por

(x + 2)

⇥⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 24$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 24) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 7 x^{2} - 2 x + 24$
$- 7 x^{2} - 2 x + 24$	$- \frac{7 x^{2}}{x}$	$- 7 x$	$- 7 x \cdot (x + 2) = - 7 x^{2} - 14 x$	$(- 7 x^{2} - 2 x + 24) - (- 7 x^{2} - 14 x) = 12 x + 24$
$12 x + 24$	$\frac{12 x}{x}$	$12$	$12 \cdot (x + 2) = 12 x + 24$	$(12 x + 24) - (12 x + 24) = 0$

⇥⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{2} - 7 x + 12

⇥⇥1.3.3) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} - 7 x + 12)

⇥⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -7

c = 12

⇥⇥

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12

⇥⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

⇥⇥

Δ = 49 - 4 \cdot 12

⇥⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

⇥⇥

Δ = 49 - 48

⇥⇥ⓘ Partimos de

49

e recuamos

48

na reta numérica:

49 - 48

1

⇥⇥

Δ = 1

⇥⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{7 - 1}{2}

⇥⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 - 1

6

⇥⇥

x_{1} = \frac{6}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

⇥⇥

x_{1} = 3

⇥⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{7 + 1}{2}

⇥⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 + 1

8

⇥⇥

x_{2} = \frac{8}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

⇥⇥

x_{2} = 4

⇥⇥Fatores encontrados:

(x - 3) \cdot (x - 4)

▷O fator

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24)

fatoriza-se como:

(x + 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4)

▶Expressão fatorizada:

(x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4)