fatoriza x^4-8x^2+7 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{4} - 8 x^{2} + 7

⇥1.1) Vamos definir:

X = x^{2}

⇥Podemos transformar a expressão em:

X^{2} - 8 X + 7

⇥Dada a forma quadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -8

c = 7

⇥

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

⇥

Δ = 64 - 4 \cdot 7

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 7

28

⇥

Δ = 64 - 28

⇥ⓘ Partimos de

64

e recuamos

28

na reta numérica:

64 - 28

36

⇥

Δ = 36

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{36}

6

pois

6^{2}

36

⇥

X_{1} = \frac{8 - 6}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 - 6

2

⇥

X_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥

X_{1} = 1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{36}

6

pois

6^{2}

36

⇥

X_{2} = \frac{8 + 6}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 + 6

14

⇥

X_{2} = \frac{14}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{14}{2}

7

⇥

X_{2} = 7

⇥Fatores encontrados:

(X - 1) \cdot (X - 7)

⇥1.2) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} - 1) \cdot (x^{2} - 7)

⇥⇥1.2.1) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} - 1)

⇥⇥Para

x^{2} - 1

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

x^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = x

b = 1

▷O fator

(x^{2} - 1)

fatoriza-se como:

(x + 1) \cdot (x - 1)

⇥⇥1.2.2) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{2} - 7)