fatoriza x^6+2x^3-3 — solução passo a passo

1) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{6} + 2 x^{3} - 3

⇥1.1) Vamos definir:

X = x^{3}

⇥Podemos transformar a expressão em:

X^{2} + 2 X - 3

⇥Dada a forma quadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 2

c = -3

⇥

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

⇥

Δ = 4 + 12

⇥ⓘ Partimos de

4

e avançamos

12

na reta numérica:

4 + 12

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥

X_{1} = \frac{- 2 - 4}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 - 4

-6

⇥

X_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

X_{1} = -3

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥

X_{2} = \frac{- 2 + 4}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 + 4

2

⇥

X_{2} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥

X_{2} = 1

⇥Fatores encontrados:

(X + 3) \cdot (X - 1)

⇥1.2) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{3} + 3) \cdot (x^{3} - 1)

⇥⇥1.2.1) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{3} + 3)

⇥⇥⇥1.2.1.1) As raízes de

x^{3} + 3

são as soluções de

x^{3} = -3

⇥⇥⇥As soluções complexas são

\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 k π + π}{3})

, para k = 0..2

⇥⇥⇥

k	Solução exponencial	Reescrita e simplificada como
0	$\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot π + π}{3}) = \sqrt[3]{3} \cdot \exp (\frac{i π}{3})$	$\sqrt[3]{3} \cdot (\cos (\frac{π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{π}{3})) = \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}$
1	$\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 \cdot 1 \cdot π + π}{3}) = \sqrt[3]{3} \cdot \exp (i π)$	$\sqrt[3]{3} \cdot (\cos (π) + i \cdot \sin (π)) = - \sqrt[3]{3}$
2	$\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 \cdot 2 \cdot π + π}{3}) = \sqrt[3]{3} \cdot \exp (\frac{i \cdot 5 π}{3})$	$\sqrt[3]{3} \cdot (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{5 π}{3})) = \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}$

⇥⇥⇥Para as soluções reais, a fatorização dá:

x + \sqrt[3]{3}

⇥⇥⇥1.2.1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{3} + 3)

por

(x + \sqrt[3]{3})

⇥⇥⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3} + 3$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + \sqrt[3]{3}) = x^{3} + \sqrt[3]{3} \cdot x^{2}$	$(x^{3} + 3) - (x^{3} + \sqrt[3]{3} \cdot x^{2}) = - \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} + 3$
$- \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} + 3$	$- \frac{\sqrt[3]{3} \cdot x^{2}}{x}$	$- x \cdot \sqrt[3]{3}$	$- x \cdot \sqrt[3]{3} \cdot (x + \sqrt[3]{3}) = - \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} - \sqrt[3]{9} \cdot x$	$(- \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} + 3) - (- \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} - \sqrt[3]{9} \cdot x) = \sqrt[3]{9} \cdot x + 3$
$\sqrt[3]{9} \cdot x + 3$	$\frac{\sqrt[3]{9} \cdot x}{x}$	$\sqrt[3]{9}$	$\sqrt[3]{9} \cdot (x + \sqrt[3]{3}) = \sqrt[3]{9} \cdot x + 3$	$(\sqrt[3]{9} \cdot x + 3) - (\sqrt[3]{9} \cdot x + 3) = 0$

⇥⇥⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{2} - x \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}

⇥⇥ⓘ As outras raízes,

\frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}

\frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}

, não são reais:

x^{2} - x \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}

não se fatoriza em ℝ

▷O fator

(x^{3} + 3)

fatoriza-se como:

(x + \sqrt[3]{3}) \cdot (x^{2} - x \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})

⇥⇥1.2.2) Vamos fatorizar em

ℝ

(x^{3} - 1)

⇥⇥⇥1.2.2.1) As raízes de

x^{3} - 1