inflexão de f(x)=7/(x-7) — solução passo a passo

⇥1) Vamos procurar o domínio de

\frac{7}{x - 7}

⇥ Para que a expressão

\frac{7}{x - 7}

esteja definida, é necessário:

x - 7 \neq 0

⇥ⓘ Somamos

7

a ambos os membros

⇥Solução obtida:

x \neq 7

Um ponto de inflexão deve pertencer à curva: mantemo-nos no domínio

x \neq 7

⇥Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{7}{x - 7}

7 \cdot {(x - 7)}^{-1}

⇥2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (7 \cdot {(x - 7)}^{-1})

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x - 7

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 \cdot {(x - 7)}^{-1})

7 \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-1})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥

7 \cdot (-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-2})

⇥ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

7 \cdot (-1)

-7

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 7)

1 + 0

⇥

-7 \cdot (1 + 0) \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

-7 \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- 7 \cdot {(x - 7)}^{-2}

- \frac{7}{{(x - 7)}^{2}}

⇥

- \frac{7}{{(x - 7)}^{2}}

⇥Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

- \frac{7}{{(x - 7)}^{2}}

-7 \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (-7 \cdot {(x - 7)}^{-2})

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x - 7

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 7 \cdot {(x - 7)}^{-2})

-7 \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-3}

⇥

-7 \cdot (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-3})

⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-7 \cdot (-2)

14

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 7)

1 + 0

⇥

14 \cdot (1 + 0) \cdot {(x - 7)}^{-3}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

14 \cdot {(x - 7)}^{-3}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

14 \cdot {(x - 7)}^{-3}

\frac{14}{{(x - 7)}^{3}}

⇥

\frac{14}{{(x - 7)}^{3}}

A segunda derivada

\frac{14}{{(x - 7)}^{3}}

é nula em todos os pontos ou nunca se anula em cada intervalo do domínio. O polo excluído não é um ponto de inflexão

▶Pontos de inflexão:

\emptyset