inflexão-x^4+12x^3-12x+13 — solução passo a passo

1) Para

- x^{4}

+ 12 x^{3}

- 12 x

+ 13

em ℝ, vamos procurar onde a segunda derivada se anula e muda de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (- x^{4} + 12 x^{3} - 12 x + 13)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{4} + 12 x^{3} - 12 x + 13)

\frac{d}{d x} (- x^{4})

+ \frac{d}{d x} (12 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 12 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{4})

+ \frac{d}{d x} (12 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 12 x)

+ 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{4})

- 4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (12 x^{3})

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 12 x)

⇥

- 4 x^{3} + 12 \cdot 3 x^{2} - 12

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

⇥

- 4 x^{3} + 36 x^{2} - 12

⇥Colocamos em evidência

4

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

- 4 x^{3} + 36 x^{2} - 12

4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

⇥Fator encontrado:

- x^{3} + 9 x^{2} - 3

A primeira derivada é

4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3))

4 \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0)

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{3})

- 3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (9 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (9 x^{2})

9 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 \cdot (- 3 x^{2} + 9 \cdot 2 x)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

9 \cdot 2

18

⇥

4 \cdot (- 3 x^{2} + 18 x)

⇥

4 \cdot (18 x - 3 x^{2})

A segunda derivada é

4 \cdot (18 x - 3 x^{2})

⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

4 \cdot (18 x - 3 x^{2}) = 0

⇥Simplificamos a expressão por

4

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

18 x - 3 x^{2} = 0

⇥⇥Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (18 - 3 x)

⇥⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥⇥1.3.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥⇥⇥1.3.2) Vamos resolver em

ℝ

18 - 3 x = 0

⇥⇥⇥

3 x = 18

⇥⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥⇥⇥

x = \frac{18}{3}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{18}{3}

6

⇥⇥⇥Solução obtida:

x = 6

⇥1.4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

4 \cdot \frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (18 x)

18

\frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

-3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

4 \cdot (18 - 3 \cdot 2 x)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 2

6

⇥

4 \cdot (18 - 6 x)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(18 - 6 x)

⇥Colocamos em evidência

6

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

18 - 6 x

6 \cdot (3 - x)

⇥Fator encontrado:

3 - x

⇥

4 \cdot 6 \cdot (3 - x)

⇥ⅰ

4 \cdot 6

24

⇥

24 \cdot (3 - x)

x = 0

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

0

, a segunda derivada é negativa à esquerda e positiva à direita: a curva passa de côncava a convexa

⇥

- 0^{4}

+ 12 \cdot 0^{3}

- 12 \cdot 0

+ 13

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

12 \cdot 0

0

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 13

13

⇥

0 + 0 + 13

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 0 + 13

13

⇥

13

A ordenada é f(

0

) =

13

⇥1.5) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

4 \cdot \frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (18 x)

18

\frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

-3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

4 \cdot (18 - 3 \cdot 2 x)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 2

6

⇥

4 \cdot (18 - 6 x)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(18 - 6 x)

⇥Colocamos em evidência

6

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

18 - 6 x

6 \cdot (3 - x)

⇥Fator encontrado:

3 - x

⇥

4 \cdot 6 \cdot (3 - x)

⇥ⅰ

4 \cdot 6

24

⇥

24 \cdot (3 - x)

x = 6

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

6

, a segunda derivada é positiva à esquerda e negativa à direita: a curva passa de convexa a côncava

⇥

- 6^{4}

+ 12 \cdot 6^{3}

- 12 \cdot 6

+ 13

⇥ⓘ Sem parênteses, o sinal de menos não faz parte da potência■Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

- 6^{4}

- (6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6)

-1296

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

6^{3}

6 \cdot 6 \cdot 6

216

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 6

(10 + 2) \cdot 6

10 \cdot 6 + 2 \cdot 6

60 + 12

72

⇥

- 1296

+ 12 \cdot 216

- 72

+ 13

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 216

(10 + 2) \cdot 216

10 \cdot 216 + 2 \cdot 216

2160 + 432

2592

⇥

- 1296

+ 2592

- 72

+ 13

⇥ⓘ Partimos de

-1296

e avançamos

2592

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 1296 + 2592

1296

⇥

1296 - 72 + 13

⇥ⓘ Partimos de

1296

e recuamos

72

na reta numérica:

1296 - 72

1224

⇥

1224 + 13

⇥ⓘ Partimos de

1224

e avançamos

13

na reta numérica:

1224 + 13

1237

⇥

1237

A ordenada é f(

6

) =

1237

▶Pontos de inflexão:

{(0; 13); (6; 1237)}

🖼/draw?f1=-x%5E4+%2B+12*x%5E3+-+12*x+%2B+13&v=x&b=-3.0&e=9.0&min=-600.8&max=2336.8&points=0%2C13%3B6%2C1237