integra e^(3x) — solução passo a passo

Vamos integrar:

\int e^{3 x} d x

Para a expressão matemática

e^{3 x}

, sabendo que (exp(a))' = a'*exp(a), tentamos derivar

\exp (3 x)

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

com f =

3 x

ⓘ A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3 \exp (3 x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

e^{3 x}

, pelo que

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

é uma primitiva de

e^{3 x}

\int e^{3 x} d x

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}

\frac{1 \cdot e^{3 x}}{3}

\frac{e^{3 x}}{3}

\frac{e^{3 x}}{3}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{e^{3 x}}{3} + C