integra sqrt(2x) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int \sqrt{2 x} d x

⇥Para

\sqrt{2 x}

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

\sqrt{2 x}

e v2' =

1

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

com f =

2 x

⇥ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x)}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥Portanto,

u1'

vale

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥1.2) Vamos calcular a integral v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Vamos avaliar

u1' \cdot v2

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{\sqrt{2 x}}

\frac{x}{\sqrt{2 x}}

⇥

\frac{x}{\sqrt{2 x}}

⇥ⓘ A raiz de um produto é o produto das raízes,

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

\sqrt{2 x}

\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}

⇥

\frac{x}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}

⇥Simplificamos a fração

\frac{x}{\sqrt{x}}

pelo fator comum

\sqrt{x}

para obter a nova expressão:

x^{1 - \frac{1}{2}}

⇥

\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\sqrt{2}}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

1 - \frac{1}{2}

\frac{2 - 1}{2}

⇥

\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\sqrt{2}}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 - 1

1

⇥

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}

⇥Por convenção, preferimos as raízes quadradas numéricas no numerador em vez do denominador:

⇥ⅰ

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

⇥

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\sqrt{2 x} \cdot x - \int \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2} d x

⇥Para

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

, aplicamos a fórmula de integração:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2} d x

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot \frac{3}{2}}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot \frac{3}{2}}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 3}{2}

\frac{6}{2}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{6}{2}}

⇥ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

- \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{6}{2}}

- \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{6}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{3}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{3}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int \sqrt{2 x} d x

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

x \cdot \sqrt{2 x} - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + C