integra x^3*ln(x) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int x^{3} \cdot \ln (x) d x

⇥Para

x^{3} \cdot \ln (x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

\ln (x)

e v2' =

x^{3}

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.2) Vamos calcular a integral v2':

\int x^{3} d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{3} d x

\frac{x^{4}}{4}

⇥

\frac{x^{4}}{4}

⇥1.3) Vamos calcular

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{4}}{4}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{1 \cdot x^{4}}{x \cdot 4}

\frac{x^{4}}{x \cdot 4}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{x^{4}}{x \cdot 4}

\frac{x^{3}}{4}

⇥

\frac{x^{3}}{4}

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (x) \cdot \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{x^{3}}{4} d x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\ln (x) \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{x^{3}}{4} d x

- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4}

⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{1 \cdot x^{4}}{4 \cdot 4}

\frac{x^{4}}{16}

⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{\ln (x) \cdot x^{4}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

\frac{4 \cdot \ln (x) \cdot x^{4} - x^{4}}{16}

⇥

\frac{4 \cdot \ln (x) \cdot x^{4} - x^{4}}{16}

⇥ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{4 \cdot \ln (x) \cdot x^{4} - x^{4}}{16}

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

⇥

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

Finalmente terminamos a integração:

ⅰ

\int x^{3} \cdot \ln (x) d x

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{x^{4} \cdot (4 \cdot \ln (x) - 1)}{16} + C